L3-Math Analyse Numérique
Institut Galilée Année 2012-2013
Devoir 2
A rendre le 21 décembre 2012 Exercice 1
SoitnPN,On noteTn la fonction dénie par
"
Tn : r1; 1s ÝÑ R
t ÞÝÑ cospnarccosptqq. (1.1)
Q. 1 1. Donner la relation de récurrence qui permet de calculerTn 1 en fonction deTn etTn1.
2. Montrer que Tn est un polynôme de degrén dont le coecient du terme de degré nest 2n1 pourn¥1.
Tn est appelé polynôme de Tchebiche de degrén.
Q. 2 On notewptq 1
?1t2.Montrer que les polynômes de Tchebiche sont worthogonaux.
Q. 3 1. Déterminer les racines pzkqkPv0,n1wdu polynômeTn.Ces racines sont appelées lesnpoints d'interpolation de Tchebyche sur r1; 1s.
2. Déterminer les extremas de Tn et les valeurs deTn en ces points.
3. En déduire max
tPr1;1s|Tnptq|.
On noteZZZ pzkqkPv0,n1w etπZZZnptq
n¹1 i0
ptziq.
Q. 4 Exprimer Tn en fonction deπZZnZ.
On noteEn l'ensemble des polynômes de degré ndont le coecient directeur est1.
Q. 5 Montrer que @PPEn,
max
tPr1;1s|Pptq| ¥ max
tPr1;1s|πZZZnptq| 1
2n1. (1.2)
On se place sur l'intervalle ra;bs. Lesnpoints d'interpolation de Tchebiche sur ra;bs,noté pwkqkPv0,n1w, sont dénis comme les images des points pzkqkPv0,n1w par la bijection aneg qui envoie 1enaet 1 enb.
Q. 6 Déterminer les points pwkqkPv0,n1w.
On noteWWW pwkqkPv0,n1w etπWWWn pxq
n¹1 i0
pxwiq. Q. 7 1. ExprimerπWnWW en fonction deTn.
2. SoientPPEn etQl'application dénie par
# Q : r1; 1s ÝÑ R
t ÞÝÑ
2 ba
n
Pgptq . Montrer que QPEn.
1
3. En déduire que, @PPEn,
max
xPra;bs|Ppxq| ¥ max
xPra;bs|πWWnWpxq| 2 ba
4 n
. (1.3)
Soient XXX pxiqiPv0,nw, n ¥3, une suite de points distincts de l'intervalle ra, bs etf PCn 1pra, bs;Rq. On notePn le polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux couples pxi, fpxiqqiPv0,nw.
On rappelle que @x P ra;bs, il existe ξx appartenant au plus petit intervalle fermé contenant x, x0, . . . , xn tel que
fpxq Pnpxq πXXXn 1pxq
pn 1q!fpn 1qpξxq. (1.4) avecπXXnX 1pxq
¹n i0
pxxiq.
Q. 8 Quel choix de pointsXXX pxiqiPv0,nw permettent de minimiser |πXXXn 1pxq|? Justier.
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