Feuille d’exercices n˚17 Espaces vectoriels

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚17 Espaces vectoriels

Dans toute cette feuille, le symboleKd´esigneRouC. Exercice 154 (Produit de deuxK-espaces vectoriels)

Soient (E,+E, .E) et (F,+F, .F) deux K-espaces vectoriels. Sur l’ensemble E×F on d´efinit une l.c.i. + en posant :

∀((u1, v1),(u2, v2))∈(E×F)² (u1, v1) + (u2, v2) = (u1 +E u2, v1 +F v2) et une l.c.e..`a domaine d’op´erateurs dansKen posant :

∀(λ,(u, v))∈K×(E×F) λ.(u, v) = (λ .Eu, λ .Fv).

Montrer que (E×F,+, .) est unK-espace vectoriel.

Terminologie : LeK-espace vectoriel(E×F,+, .)ainsi d´efini est appel´eK-espace vectoriel produit desK-espaces vectoriels(E,+E, .E) et(F,+F, .F).

Exercice 155 (K-espace vectoriel des applications d’un ensemble dans un K-espace vectoriel) SoitX un ensemble. Soit (E,+E, .E) unK-espace vectoriel. On noteF(X, E) l’ensemble des applications deX dansE. Sur l’ensembleF(X, E) on d´efinit une l.c.i. + en d´efinissant pour tout (f, g)∈ F(X, E)² l’application f+g par :

f+g:X →E; x7→f(x) +E g(x).

et une l.c.e..`a domaine d’op´erateurs dansKen posant pour tout (λ, f)∈K× F(X, E) l’application λ.f par : λ.f:X →E; x7→λ .Ef(x).

Montrer que (F(X, E),+, .) est unK-espace vectoriel.

Terminologie : Le K-espace vectoriel (F(X, E),+, .) ainsi d´efini est appel´e K-espace vectoriel des applications de X dans leK-espace vectoriel(E,+E, .E).

Exercice 156 (Parties de Rⁿ qui sont ou non des sous-espaces vectoriels, n∈N^∗) 1. La partieF1 deR³ d´efinie par :

F1=

(x1, x2, x3)∈R³ : x1=x2=x3

est-elle un sous-espace vectoriel de R³? 2. La partieF2 deR² d´efinie par :

F2=

(x1, x2)∈R² :

x1 + x2 = 0

x1 − 3 = 0

est-elle un sous-espace vectoriel de R²? 3. La partieF3 deR² d´efinie par :

F3={(x, y)∈R² : y=x²} est-elle un sous-espace vectoriel de R²?

4. Soit la partieF4 deR³ d´efinie par :

F4={(a+b, a, b)∈R³ : (a, b)∈R²}.

(a) Montrer queF4 est l’ensemble des combinaisons lin´eaires de deux vecteursv1 et v2 deR³. (b) La partieF4 est-elle un sous-espace vectoriel deR³?

1

Exercice 157 (Parties de F(R,R) qui sont ou non des sous-espaces vectoriels) 1. On rappelle qu’une fonctionf:R→Rest croissante surRsi :

∀(x, y)∈R² x≤y=⇒f(x)≤f(y).

Soit la partieF1 deF(R,R) d´efinie par :

F1={f:R→R : f est croissante surR}. La partieF1 est-elle un sous-espace vectoriel deF(R,R) ?

2. On rappelle qu’une fonctionf:R→Rest impaire si :

∀x∈R f(−x) =−f(x).

Soit la partieF2 deF(R,R) d´efinie par :

F2={f:R→R : f est impaire surR}. La partieF2 est-elle un sous-espace vectoriel deF(R,R) ?

3. On rappelle qu’une fonctionf:R→Rest major´ee surRsi :

∃M ∈R ∀x∈R f(x)≤M.

Soit la partieF3 deF(R,R) d´efinie par :

F3={f:R→R : f est major´ee sur R}. La partieF3 est-elle un sous-espace vectoriel deF(R,R) ?

4. On rappelle qu’une fonctionf:R→Rest born´ee surRsi :

∃M ∈R ∀x∈R |f(x)| ≤M.

Soit la partieF4 deF(R,R) d´efinie par :

F4={f:R→R : f est born´ee surR}. La partieF2 est-elle un sous-espace vectoriel deF(R,R) ?

Exercice 158 (Parties de F(N,R) qui sont ou non des sous-espaces vectoriels) 1. On rappelle qu’une suite r´eelle (un)n∈N est arithm´etique si :

∃r∈R ∀n∈N un+1=un+r.

Soit la partieF1 deF(N,R) d´efinie par :

F1={(un)n∈N∈ F(N,R) : (un)n∈N est arithm´etique}. La partieF1 est-elle un sous-espace vectoriel deF(N,R) ?

2. On rappelle qu’une suite r´eelle (un)n∈N est g´eom´etrique si :

∃q∈R ∀n∈N un+1=qun. Soit la partieF2 deF(N,R) d´efinie par :

F2={(un)n∈N∈ F(N,R) : (un)n∈N est g´eom´etrique}. La partieF2 est-elle un sous-espace vectoriel deF(N,R) ?

3. Soit (a, b)∈R²et soitF3la partie deF(N,R) telle que :

F3={(un)n∈N∈ F(N,R) : ∀n∈N un+2=aun+1+bun}. La partieF3 est-elle un sous-espace vectoriel deF(N,R) ?

2

Exercice 159 (´Egalit´e de deux sous-espaces vectoriels engendr´es par deux parties deR³) Soient les cinq ´el´ements deR³:

u1= (1,2,1) ; u2= (2,−1,4) ; u3= (1,7,−1) ; u4= (1,1,1) ; u5= (5,−10,13).

1. Lesquels des vecteursu3, u4, u5appartiennent `a Vect(u1, u2) ? 2. Montrer que Vect(u3, u5) = Vect(u1, u2).

Exercice 160 (De l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire homog`ene `a un sous-espace vectoriel engendr´e par un nombre fini de vecteurs)

Soit le syst`eme

(S) :







2x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0 x1 + x2 + x3 − x4 = 0 x1 − x2 − 5x3 + 7x4 = 0 d’inconnue (x1, x2, x3, x4)∈R⁴.

1. Justifier que l’ensemble solutionF du syst`eme (S) est un sous-espace vectoriel deR⁴.

2. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S) par la m´ethode du pivot de Gauß et en d´eduire qu’il existe deux vecteurs u1, u2 deR⁴ tels queF = Vect(u1, u2).

Exercice 161 (D’un sous-espace vectoriel engendr´e par un nombre fini de vecteurs `a l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire homog`ene)

Soient les ´el´ementsu1= (1,1,1,1) etu2= (1,2,3,4) deR⁴. 1. D´eterminer une famille (aij)1≤i≤2

1≤j≤4

d’´el´ements de Rv´erifiant les deux conditions : (a) u1 etu2sont solutions des deux ´equations

(E1) : a11x1+a12x2+a13x3+a14x4= 0 et (E2) : a21x1+a22x2+a23x3+a24x4= 0 d’inconnue (x1, x2, x3, x4)∈R⁴;

(b) les ´equations (E1) et (E2) ne sont pas^≪proportionnelles^≫. 2. SoitF la partie deR⁴ d´efinie par :

F =

(x1, x2, x3, x4)∈R⁴ :

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = 0

o`u (aij)1≤i≤2 1≤j≤4

est la famille d’´el´ements deRobtenue `a la question 1. Montrer que : Vect(u1, u2) =F.

Exercice 162 (Diminution ´eventuelle du nombre de vecteurs engendrant un sous-espace vectoriel) Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel. Soitn∈N^∗. Soit (u1, . . . , un, un+1) une famille de vecteurs deE. Montrer que :

Vect(u1, . . . , un, un+1) = Vect(u1, . . . , un) ⇐⇒ un+1∈Vect(u1, . . . , un).

Exercice 163 (CNS pour que la r´eunion de deux sous-espaces vectoriels soit un sous-espace vectoriel)

Soit (E,+, .) unK-espace vectoriel. SoientF1 etF2deux sous-espaces vectoriels deE. Montrer que : F1∪F2 est un sous-espace vectoriel deE ⇐⇒ (F1⊂F2ouF2⊂F1).

3

Exercice 164 (Somme directe ou non de deux sous-espaces vectoriels de R³ et sous-espaces vec- toriels suppl´ementaires dans R³)

Pour touta∈R, on poseua= (a,1, a). SoitFa la partie deR³d´efinie par : Fa = Vect(ua).

SoitGla partie deR³ d´efinie par :

G={(x1, x2, x3)∈R³ : x1+x2= 2x3}.

1. Soita∈R. Justifier queFa etGsont des sous-espaces vectoriels deR³.

2. Montrer que G est engendr´e par deux vecteurs, i.e. qu’il existe deux vecteurs u1, u2 de R³ tels que G= Vect(u1, u2).

3. Soita∈R. Donner une CNS surapour que la sommeFa+Gsoit directe.

4. Soita∈R\ {1}. Montrer queFa etGsont suppl´ementaires dansR³.

5. On suppose ici quea= 2. D´ecomposeru= (1,2,−1) relativement `a la d´ecompositionR³=Fa⊕G.

Exercice 165 (Deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans F(R,R)) SoitF l’ensemble des fonctions de RdansRconstantes, i.e.

F =

R → R x 7→ a

a∈R

et soitGl’ensemble des fonctions deRdansRnulles en 1, i.e. : G={ f:R→R| f(1) = 0}.

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de F(R,R), engendr´e par une fonction, i.e. qu’il existe une fonctionf ∈ F(R,R) telle queF= Vect(f).

2. Montrer queGest un sous-espace vectoriel deF(R,R).

3. Montrer queF etGsont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dansF(R,R).

4. D´ecomposer la fonction

exp :R → R x 7→ e^x relativement `a la d´ecompositionF(R,R) =F⊕G.

Exercice 166 (Deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans F(N,R)) SoientF l’ensemble des suites r´eelles indic´ees parNnulles `a partir du rang 3, i.e. :

F ={(un)n∈N∈ F(N,R) : ∀n∈N n≥3 =⇒un= 0}

et soit G l’ensemble des suites r´eelles indic´ees parNdont les trois premiers termes sont nuls, i.e. : G={(un)n∈N∈ F(N,R) : u0=u1=u2= 0}.

1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel deF(N,R), engendr´e par trois suites, i.e. qu’il existe trois suites (αn)n∈N,(βn)n∈N,(γn)n∈N telles queF= Vect ((αn)n∈N,(βn)n∈N,(γn)n∈N).

2. Montrer queGest un sous-espace vectoriel deF(N,R).

3. Montrer queF etGsont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dansF(N,R).

4. D´ecomposer la suite (un)n∈Nd´efinie par :

∀n∈N un= (−1)ⁿn relativement `a la d´ecompositionF(N,R) =F⊕G.

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