Espaces vectoriels Feuille 15

Espaces vectoriels Feuille 15

Exercice15.1

On note A = {(x, y) ∈ R² / xy = 0} etB = {(x, y) /2x+y = 1}.Les ensembles Aet B sont-ils des sous-espaces vectoriels deR²?

Exercice15.2

On note Al’ensemble des suites arithmétiques et B l’ensemble des suites monotones. Les ensembles Aet B sont-ils des sous-espaces vectoriels deR^N?

Exercice15.3

SiAetBsont deux parties d’unK-espace vectorielE, comparerVect(A∩B)etVect(A)∩Vect(B).

Exercice15.4

DansR³, on noteu= Ñ1

1 1

é etv=

Ñ1 0

−1 é

. Montrer queVect(u, v) =





 Ñ 2α

α+β 2β

é

/ α, β ∈R²





 .

Exercice15.5

SoientE unR-espace vectoriel etF un sous-espace vectoriel deE, different deE. Soit uune fonction deE dansEtelle que la restriction deusur le complémentaire deFest nulle.

Montrer queuest linéaire si et seulement si elle est nulle.

Exercice15.6

On noteEl’ensemble des fonctionsf deRdansRtelles qu’il existe(a, A)∈R²+vérifiant∀x∈R, |x| ≥a⇔

|f(x)| ≤A|x|.

Exercice15.7

SoientEunK-espace vectoriel etA, B, Ctrois sous-espaces vectoriels deEtels queA∩B =A∩C, A+B= A+CetB⊆C.

Montrer queB=C

Exercice15.8

Pour toutX= Ñx

y z

é

∈R³, on noteM(X) =

Ñx+ 2y+ 4z 3y+ 3z x+y+ 3z

é . Montrer queM ∈L(R³), puis calculerKer(M)etIm(M).

Exercice15.9

SoientE, F etGtrois sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielA.

1. Est-il vrai queE∩(F+G) = (E∩F) + (E∩G)? 2. Est-il vrai queE∩(F+ (E∩G)) = (E∩F) + (E∩G)?

Exercice15.10

SoientEunK-espace vectoriel ethun endomorphisme deE.

1. SiF est un sous-espace vectoriel deE, montrer queh⁻¹(h(F)) =F + Ker(h).

2. SoitFun sous-espace vectoriel deE.

Exprimerh(h⁻¹(F))en fonction deF et deIm(h).

Quentin De Muynck Sous licencecbea

FEUILLE XV - ESPACES VECTORIELS

3. Déterminer les sous-espaces vectorielsF deEpour lesquelsh⁻¹(h(F)) =h(h⁻¹(F)).

Exercice15.11

Soituetvdeux endormorphismes d’unC-espace vectorielE, tels queu◦v = v◦u. On suppose qu’il existe (α, β)∈C²tels queu◦v+αu+βv= 0,avecα6= 0etβ6= 0.

Montrer queu+βIdE est inversible.

Si l’on suppose queEest de dimension finie, on peut enlever l’hypothèse de commutativité et demander de prouver cette commutativité après avoir montré la première question.

Exercice15.12

Dans l’espace vectorielF(R,R)des fonctions deRdansR, comparer les sous-espaces vectoriels respectivement engendrés par les familles(ϕ_n)n∈Net(ψ_n)n∈N,où

∀x∈R, ϕ_n(x) = cos(nx)etψ_n(x) = cosⁿx

Exercice15.13

SoitEunK-espace vectoriel etuun élément deL(E).

1. Montrer queKer(u)∩Im(u) ={0}si et seulement siKer(u²) = Ker(u).

2. Montrer queE = Ker(u) + Im(u)si et seulement siIm(u²) = Im(u).

Exercice15.14

SoitEunK-espace veetoriel etu, v∈L(E)tels queu◦v=v◦uetKer(u)∩Ker(v) ={0}.

Montrer que quelque soiti, j∈N, Ker(uⁱ)∩Ker(v^j) ={0}.

Exercice15.15

SoientEetF deuxK-espaces vectoriels. Montrer queE^∗×F^∗est isomorphe à(E×F)^∗

Exercice15.16

Polynômes d’endomorphismes

SoientEunK-espace vectoriel etu∈L(E).

NotonsP ={P(u)/ P ∈K[X]}etC={v ∈L(E)/ v◦u=u◦v}.

1. Montrer queP etCsont des sous-espaces vectoriels deL(E)et queP ⊆ C.

2. Soitx ∈ E. Montrer que le plus petit sous-espace vectoriel deE contenantxqui est stable paruestFx = {P(u)(x)/ F ∈K[X]}.

3. Six∈E, on dira quexestu-générateur si et seulement siFx =E.Notonsϕx : L(E)−→ E v7−→v(x) Montrer quexestu-générateur si et seulement siϕx

_P est surjective.

4. Montrer que sixestu-générateur alorsϕ_x

_Cest injective.

En déduire que siE possède unu-générateur, alorsP =CetEest isomorphe àC.

Exercice15.17

SoientKun sous-corps deCetE unK-espace vectoriel.

1. Montrer que la réunion de deux sous-espaces vectoriels strictement inclus dansEest également strictement incluse dansE.

2. Plus généralement, sinest un entier supérieur ou égal à 2, montrer que la reunion densous-espaces vectoriels strictement inclus dansEest strictement incluse dansE.

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