Chapitre 15 Espaces vectoriels

Chapitre 15 Espaces vectoriels

Dans tout ce chapitre,KdésigneRou C.

I - Espaces vectoriels I.1 - Espaces vectoriels Définition 1 (Espace vectoriel).

Soit un ensembleE muni d'une loi interne, notée+, et d'une loi externe K×E → E

(α, x) 7→ α·x (E,+,·) est un K-espace vectoriel si

∗ (E,+)est un groupe commutatif,

∗ Pour tous (x, y)∈E²,(λ, µ)∈K²,

λ·(µ·x) = (λµ)·x (λ+µ)·x=λ·x+µ·x 1·x=x λ·(x+y) =λ·x+λ·y Les éléments deE sont les vecteurs, les éléments deKles scalaires.

Exercice 1.Montrer que les ensembles suivants sont desR-espaces vectoriels.

1. (R,+,·). 2.(F(I),R),+,·). 3. (C(I,R),+,·). Donner d'autres exemples d'espaces vectoriels.

Notation.

(E,+,·) désigne unK-espace vectoriel.

Propriété 1.

Soientα∈K, x∈E.

(i). 0_K·x= 0E etα·0E = 0E. (ii). −(α·x) =α·(−x) = (−α)·x.

(iii). α·x= 0_E si et seulement si (α = 0_K ou x= 0_E).

I.2 - Espaces vectoriels remarquables Propriété 2 (Produit cartésien).

Soient (E,+_E,·_E),(F,+_F,·_F) deux K-espaces vectoriels. Pour tous x, x⁰ ∈E, y, y⁰ ∈F, λ∈ K, on dénit

∗ l'addition :(x, y) + (x⁰, y⁰) = (x+_E x⁰, y+_F y⁰)

∗ la multiplication externe : λ·(x, y) = (λ·_Ex, λ·_F y).

Alors(E×F,+,·) est un K-espace vectoriel appelé espace vectoriel produit.

Exercice 2.Montrer que pour tout entier naturel non nuln,(Rⁿ,+,·)est unRespace vectoriel.

Propriété 3 (Ensemble de fonctions).

Soient X un ensemble non vide et (E,+_E,·_E) un K-espace vectoriel. Pour tous (f, g) ∈ F(X, E)², λ∈K, on note

∗ l'addition :∀ x∈X,(f +g)(x) =f(x) +_Eg(x),

∗ la multiplication externe : ∀x∈X,(λ·f)(x) =λ·_Ef(x). Alors(F(X, E),+,·) est un K-espace vectoriel.

I.3 - Sous-espaces vectoriels Définition 2 (Sous-espace vectoriel).

Soit(E,+,·) unK-espace vectoriel. SiF ⊂E est un ensemble non vide stable pour l'addition et la multiplication externe, alors(F,+,·)est un sous-espace vectoriel de (E,+,·).

Exercice 3.Donner des exemples de sous-espaces vectoriels.

Théorème 1 (Caractérisation des sous-espaces vectoriels).

Soit (E,+,·) unK-espace vectoriel et F ⊂E.(F,+,·) est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si

(i). 0_E ∈F, (ii). ∀ (x, y)∈F², λ∈K, λ·x+y∈F. Exercice 4.

1. Montrer que l'ensemble des fonctionsf : R→R paires est unR-espace vectoriel.

2. Montrer que l'ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) est un R-espace vectoriel.

Propriété 4 (Espaces vectoriels & Intersection).

SoientE un K-espace vectoriel, I un ensemble non vide et(F_i)i∈I une famille de sous-espaces vectoriels deE. Alors T

i∈I

Fi est un sous-espace vectoriel de E.

Exercice 5.Montrer que la réunion de deux espaces vectoriels n'est pas toujours un espace vec- toriel.

Théorème 2 (Sous-espace vectoriel engendré).

SoientEunK-espace vectoriel etAune partie deE. Il existe un plus petit sous-espace vectoriel de E contenantA. Cet espace est le sous-espace vectoriel engendré parA, notéVectA.

Exercice 6. Soit F un sous-espace vectoriel de E et u ∈ E non nul. Déterminer Vect∅,VectE,VectF,Vect{u}.

I.4 - Somme de sous-espaces vectoriels Notation.

F etGdésignent deux sous-espaces vectoriels deE. Théorème 3 (Somme).

Le plus petit sous-espace vectoriel de E contenantF etGestVect(F∪G) ={x+y; (x, y)∈ F ×G}. Cet espace vectoriel est la somme deF et de G, notéeF +G.

Exercice 7.Soient (ei)i∈I et (yj)j∈J deux familles de vecteurs de E. Déterminer Vect{e_i, i ∈ I}+ Vect{e_j, j∈J}.

Définition 3 (Somme directe).

La sommeF+Gest somme directe si tout vecteur deF+Gs'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur deF et d'un vecteur de G. On noteF +G=F⊕G.

Théorème 4 (Supplémentaires).

Les assertions suivantes sont équivalentes.

(i). ∀x∈E,∃!(f, g)∈F ×G; x=f +g. (ii). E =F+GetF∩G={0_E}.

Lorsque ces propriétés sont vériées,F etGsont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dansE, notéE =F ⊕G.

Exercice 8.

1.Soit D= Vect{(1,0)}. Déterminer des sous-espaces vectoriels supplémentaires deD dansR². 2. Soit F l'ensemble des fonctions dénies sur R, à valeurs réelles et Fi (resp. Fp) le sous- ensemble des fonctions impaires (resp. paires). Montrer queF =Fi⊕Fp.

3. Montrer queMn(R) =Sn(R)⊕An(R).

4.Soit P un polynôme de degrén+ 1 etP·K[X]le sous-espace vectoriel deK[X]constitué des multiples de P. Montrer que Kn[X]est un supplémentaire deP·K[X].

Définition 4 (Généralisation).

Soit pun entier naturel non nul et E₁, . . . , E_p des sous-espaces vectoriels de E.

∗ Le plus petit sous-espace vectoriel contenant S

i∈J1,pK

Ei est l'espace vectoriel

E1+· · ·+Ep = ( _p

X

i=1

ui,(u1, . . . , up)∈E1× · · · ×Ep

) .

∗ La somme F = E₁ +· · ·+E_p est directe, notée F =

p

L

k=1

E_k, si, pour tout vecteur u∈E1+· · ·+Ep, la décompositionu=

p

P

i=1

ui est unique.

Propriété 5.

E1+· · ·+Ep est une somme directe si et seulement si

∀ (u₁, . . . , u_p)∈E₁× · · · ×E_p,

"

0_E =

p

X

i=1

u_i ⇒ ∀ i∈J1, pK, u_i = 0_E

# .

Exercice 9.

1. Montrer que, siE =

n

L

i=1

E_i, alors pour tout (i, j)∈J1, nK

2, sii6=j, alors E_i∩E_j ={0_E}. 2. Montrer que la réciproque est fausse.

I.5 - Familles de vecteurs Notations.

I désigne un ensemble non vide.

F = (ei)i∈I désigne une famille de vecteurs de E. Définition 5 (Combinaison linéaire).

Un vecteur x ∈ E est une combinaison linéaire des vecteurs (ei)i∈I s'il existe une famille presque nulle(λ_i)i∈I ∈K^I(i.e. il n'y a qu'un nombre ni deλ_inon nuls) telle quex=P

i∈I

λ_ie_i. Théorème 5 (Espace vectoriel engendré & Combinaisons linéaires).

L'espace vectoriel engendré par la famille{e_i, i∈I}est l'ensemble des combinaisons linéaires de la famille (ei)i∈I.

Exercice 10.Montrer que l'ensemble des solutions du système linéaire

3x+ 4y+ 2z= 0 x+ 2y+z= 0 est l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs à préciser.

Propriété 6.

Soienti0 ∈I,(λi)i∈I∈K^I une famille presque nulle telle que λi0 6= 0_K. (i). Vect{u_i, i∈I}= Vect{u_i0 + P

i6=i₀

λiui, uj, j∈I\{i₀}}. (ii). Vect{u_i, i∈I}= Vect{λ_i0u_i0, u_j, j∈I\{i₀}}.

Définition 6 (Famille libre).

(i). La famille (e_i)i∈I est libre si pour toute famille presque nulle(λ_i)i∈I ∈K^I, X

i∈I

λ_ie_i = 0_E ⇒ ∀ i∈I, λ_i = 0_K.

Les vecteurs (ei)i∈I sont linéairement indépendants.

(ii). La famille (ei)i∈I est liée si elle n'est pas libre. Les vecteurs sont linéairement dépen- dants, i.e.

∃(λ_i)i∈I ∈K^I presque nulle ; (λ_i)i∈I 6= (0_K)i∈I et X

i∈I

λ_ie_i = 0_E.

Exercice 11.

1. Montrer qu'une famille de deux vecteurs est libre si et seulement si ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

2. Montrer que la famille((1,0,1),(0,1,0))est une famille libre de R³.

3.Montrer que la famille (1 +X,−1 +X²,1 +X+X²,2X+X²)est une famille liée de R2[X].

4. Montrer que la famille(t7→e^t, t7→e^−t) est une famille libre de F(R,R). 5. Que dire de la famille(1, i)?

Propriétés 7.

Soit F⁰ = (ej)j∈J une sous-famille de F, i.e. pour toutj ∈J, ej ∈F. (i). (0E) est une famille liée.

(ii). (x)est une famille libre si et seulement si x6= 0_E. (iii). Si F⁰ est liée, alors F est liée.

(iv). Si F est libre, alorsF⁰ est libre.

Propriété 8 (Lié & c.l.)

On suppose que F contient au moins deux vecteurs. F est liée si et seulement si un des vecteurs deF s'écrit comme combinaison linéaire des autres.

Exercice 12.Montrer que la famille {(1,1,0),(0,1,0),(1,0,0)}est liée.

Propriété 9 (Libre & c.l.)

SoientF une famille libre etu∈E. Alors,u∈Vect{e_i, i∈I} si et seulement si(u, ei, i∈I) est liée.

Théorème 6 (Libre & Unicité).

Soient F une famille libre et x ∈ VectF. Alors, x s'écrit de manière unique comme combi- naison linéaire des vecteurs de F.

Définition 7 (Famille génératrice, Base).

(i). F est une famille génératrice de E si Vect{e_i, i∈I}=E.

(ii). F est une base de E si F est une famille libre et génératrice deE.

Exercice 13.

1. Soitn∈N^?. Donner des bases deR²,Rⁿ,R[X],Rn[X]etMn,p(R). 2. Déterminer une base deCen tant que C-espace vectoriel.

3. Soitα∈C\R. Montrer que (1, α) est une base deCen tant que R-espace vectoriel.

Propriété 10 (Génératrice & Inclusion).

Soit F⁰ une sous-famille de F. Si F⁰ est une famille génératrice, alors F est une famille génératrice.

II - Applications linéaires Notation.

E, F, Gdésignent troisK-espaces vectoriels.

II.1 - Applications linéaires Définition 8 (Application linéaire).

L'application ϕ : E →F est une application linéaire si

∀(x, y)∈E², λ∈K, ϕ(λx+y) =λϕ(x) +ϕ(y).

L'application ϕest un morphisme d'espaces vectoriels. Lorsque (i). Si E =F,ϕest un endomorphisme.

(ii). Si ϕest bijective, ϕest un isomorphisme.

(iii). Si E =F etf est bijective, ϕest un automorphisme.

Exercice 14.Soienta, b, ctrois réels. Montrer que les applications suivantes sont des applications linéaires.

1. f : R³ →R²,(x, y, z)7→(ax+by, cy+bz). 2. trans : Mn,p(R)→Mp,n(R), M 7→^tM. 3. ϕ : C² →C⁰, f 7→af⁰⁰+bf⁰+cf.

4. ψ : R^N→R^N,(un)7→(aun+2+bun+1+cun).

5. p : Mn(R)→Mn(R), M 7→ ^M−₂^tM.

Exercice 15.Déterminer l'ensemble des applications linéaires de KdansK.

Définition 9 (Forme linéaire).

Une forme linéaire est une application linéaire de E dansK.

Exercice 16.Donner des exemples de formes linéaires.

Propriété 11.

Soit ϕ : E→F une application linéaire.

(i). ϕ(0E) = 0F.

(ii). ∀n∈N^?,(e1, . . . , en)∈Eⁿ,(λ1, . . . , λn)∈Kⁿ, ϕ _n

P

i=1

λiei

=

n

P

i=1

λϕ(ei).

Définition 10 (Noyau, Image).

Soit ϕ : E→F une application linéaire.

(i). Le noyau deϕ, notéKer(ϕ), est l'ensemble

Ker(ϕ) ={x∈E ; ϕ(x) = 0F}=ϕ⁻¹({0_F}).

(ii). L'image deϕ, notée Im(ϕ), est l'ensemble

Im(ϕ) ={ϕ(x), x∈E}.

Exercice 17. On pose (a, b, c) = (3,2,1). Déterminer les images et les noyaux des applications linéaires précédentes.

Propriété 12.

Soit ϕ : E →F une application linéaire. Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel de E etIm(ϕ) est un sous-espace vectoriel de F.

Plus généralement,

(i). Si E⁰ est un sous-espace vectoriel deE, alors ϕ(E⁰)est un sous-espace vectoriel de F. (ii). Si F⁰ est un sous-espace vectoriel de F, alors ϕ⁻¹(F⁰) est un sous-espace vectoriel de

E.

Exercice 18.

1. Montrer que{(x_i)∈Rⁿ ; x1 =x2 = 0}est un R-espace vectoriel.

2.Soienta, b, ctrois réels. Montrer que l'ensemble des fonctions de classeC² surRsolutions de l'équationay⁰⁰+by⁰+cy= 0 est un R-espace vectoriel.

3. Montrer queSn(R) est un sous-espace vectoriel de Mn(R). Théorème 7 (Caractérisation des applications linéaires injectives).

Soit ϕune application linéaire deE dansF. Les propositions suivantes sont équivalentes.

(i). ϕest injective.

(ii). Ker(ϕ) ={0_E}.

(iii). ∀x∈E,(ϕ(x) = 0_F ⇒ x= 0_E). Théorème 8 (Lemme important).

ϕdénit un isomorphisme de tout supplémentaire de KerϕsurImϕ.

Exercice 19. (Polynômes d’interpolation de Lagrange) Soit (a0, . . . , an) ∈ Kⁿ⁺¹ distincts. On dénitϕ : K[X]→Kⁿ⁺¹, P 7→(P(a₀), . . . , P(a_n)).

1. Montrer queKerϕ=

Q·

n

Q

i=0

(X−ai), Q∈K[X]

.

2. En déduire queϕréalise un isomorphisme u deKn[X]dansKⁿ⁺¹.

3. En notant (e₁, . . . , e_n+1) la base canonique de Kⁿ⁺¹, déterminer, pour tout i ∈ J1, n+ 1K, u⁻¹(ei).

II.2 - Structures Notations.

L(E, F) désigne l'ensemble des applications linéaires deE dansF.

L(E) désigne l'ensemble des endomorphismes deE.

G`(E) désigne l'ensemble des automorphismes deE.

E^? désigne l'ensemble des formes linéaires de E. Propriété 13.

Soientf, g∈L(E, F)etλ, µ∈K. Alors, λf+µg∈L(E, F).

Théorème 9.

(L(E, F),+,·)est un sous-espace vectoriel de F(E, F). Propriété 14.

Soit f ∈L(E, F) etg∈L(F, G). Alors,g◦f ∈L(E, G). Théorème 10.

(L(E),+,◦) est un anneau (non commutatif en général).

Propriété 15.

Soit f un isomorphisme deE dansF. Alorsf⁻¹ est un morphisme de F dansE.

Théorème 11.

(G`(E),◦)est un groupe, appelé groupe linéaire.

II.3 - Familles de vecteurs Notation.

ϕdésigne une application linéaire deE dansF. Propriété 16 (Famille génératrice).

Si(e_i)i∈I est une famille génératrice de E, alors Imϕ= Vect{ϕ(e_i), i∈I}. Exercice 20.Soit ϕ : R²→R³,(x, y)7→(4x+ 2y,3x−y, x). DéterminerImϕ.

Théorème 12 (Image d’une base par un isomorphisme).

Siϕest un isomorphisme et(ei)i∈I est une base deE, alors (ϕ(ei))i∈I est une base deF. Propriété 17 (Détermination d’une application linéaire).

Soit (e_i)i∈I une base deE et(f_i)i∈I une famille de vecteurs de F. Il existe une unique appli- cation linéaire ϕtelle que pour touti∈I,ϕ(e_i) =f_i. Alors,

(i). ϕest injective si et seulement si(f_i)i∈I est libre.

(ii). ϕest surjective si et seulement si (f_i)i∈I est génératrice.

(iii). ϕest bijective si et seulement si(f_i)i∈I est une base.

Exercice 21.Soit ϕ : K[X]→K[X], P 7→P(X+a)−

+∞

P

k=0 P^(k)(a)

k! X^k. 1. Montrer que, pour toutj ∈N,ϕ(X^j) = 0.

2. En déduire la formule de Taylor polynomiale.

Propriété 18. Soient E =

p

L

k=1

E_k et, pour tout k ∈ J1, pK,u_k ∈ L(E_k, F). Il existe une unique application linéaireu∈L(E, F) telle que pour toutk∈ 1, pK,u =u .

II.4 - Exemples géométriques d'applications linéaires Définition 11 (Homothétie).

Soit λ∈K^?. L'homothétie de rapportλ est l'application h_λ : E → E, x7→λ·x. L'ensemble des homothéties deE est notéH.

Théorème 13 (Structure).

H est un sous-groupe de G`(E).

Exercice 22.Si E 6= {0_E}, montrer qu'il existe une bijection ϕ : K^? → H telle que pour tout (λ, µ)∈(K^?)²,ϕ(λµ) =ϕ(λ)◦ϕ(µ).

Définition 12 (Projecteur).

SoientF, Gdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. La projection surF parallèle- ment à Gest l'application

p : E→E, f+g7→f,

où (f, g)∈F×Gest l'unique décomposition selonF⊕G. L'application p est un projecteur.

Exercice 23.SoitD={(x, y, z)∈R³; x+y= 0,2y+z= 0}etP ={(x, y, z)∈R³; x+3y+3z= 0}. Déterminer l'expression de la projection sur Dparallèlement àP.

Propriété 19.

Soit pun projecteur déni sur un espace vectoriel E. (i). p∈L(E).

(ii). p◦p=p.

(iii). Ker(p)⊕Im(p) =E.

Théorème 14 (Caractérisation des projections).

Soit p ∈L(E).p est un projecteur si et seulement si p◦p =p.p est alors la projection sur Im(p) de direction Ker(p).

Exercice 24.

1. Montrer que l'application p qui à toute fonction dénie de R dansR associe sa partie paire est un projecteur. Retrouver le résultat F =Fi⊕Fp.

2. Montrer queMn(R) =Sn(R)⊕An(R).

Définition 13 (Symétrie).

Soient F, Gdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. La symétrie par rapport àF et parallèlement àG est l'application

s : E→E, f +g7→f−g,

où (f, g)∈F×Gest l'unique décomposition selonF ⊕G. Propriété 20.

Une symétrie est un automorphisme involutif.

Théorème 15 (Caractérisation des symétries).

Tout endomorphisme involutif de E est une symétrie. Plus précisément, si s ∈ L(E) est involutif, sest la symétrie par rapport à Ker(s−Id_E) parallèlement àKer(s+ Id_E).