Feuille d’exercices 2 A rendre le lundi 9 octobre 2006. Exercice 1

UNIVERSIT´ E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007

Licence de math´ematiques Alg`ebre S1

Groupe Math´ematiques-Economie 2

Feuille d’exercices 2

A rendre le lundi 9 octobre 2006.

Exercice 1

Soient f : X → Y et g : Y → Z des applications.

1) Supposons que g ◦ f est injective. Montrer que f est injective.

2) Supposons que g ◦ f est surjective. Montrer que g est surjective.

En d´eduire que si f : X → Y et g : Y → X sont des applications tel que g ◦ f = id

et

f ◦ g = id

, alors f et g sont bijectives.

Exercice 2

Soient x et y des entiers tels que x > y. On divise les deux entiers par leur diff´erence, c’est `a dire

x = q

(x − y) + r

0 ≤ r

< (x − y) et

y = q

(x − y) + r

0 ≤ r

< (x − y).

Comparer q

avec q

et r

avec r

. (Indication: essayer d’abord quelques exem- ples.)

Exercice 3

Soient a et b des entiers positifs. Soit n un entier. Montrer que pgcd(na, nb) = n pgcd(a, b).

1

Exercice 4

Soit n un entier positif et p un entier plus grand que 2. Montrer que

pgcd(p

+ 1, p) = 1. (1)

pgcd(p

,

n−1

X

k=0

p

) = 1. (2)

En d´eduire

pgcd(p

− 1, p

− p) et

pgcd(p

− 1, p

− p

).

2