Devoir ` a la maison n o 1

Universit´e de Nantes. 2006/2007

Master 1 Probabilit´es

Devoir ` a la maison n ^o 1

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a rendre au plus tard le 15 f´evrier 2007

Exercice 1. SoitX une variable al´eatoire sur un espace de probabilit´es(Ω,F,P)de densit´ef par rapport `a la mesure de Lebesgue d´efinie par

f(x) = 1 ln 2

1

1 +x10<x<1. Montrer que la variable al´eatoireY d´efinie par

Y = 1

X −

1 X

, o`u [·] d´esigne la fonction partie enti`ere, suit la mˆeme loi que X.

Exercice 2. Soit(Ω,F, µ)un espace mesur´e. On note

A_∞={A⊂ F; µ(A)<+∞}.

1. Soient1≤p < q <+∞. On suppose qu’il existe un r´eelktel que pour toute fonction f ∈L^q(µ), kfkp≤kkfkq.

Montrer qu’alors,

sup

A∈A∞

µ(A)<+∞. (1)

2. On munit Rde la tribu des bor´eliens. La mesure de Lebesgueλ sur cet espace satisfait-elle une des deux assertions pr´ec´edentes ? (votre r´eponse devra ˆetre justifi´ee)

3. On suppose maintenant que µv´erifie (1). Soient1≤p < q <+∞.

(a) Soit(A_n)_n∈N∈ A^N_∞ une suite d’ensembles disjoints. Montrer que

µ [

n∈N

An

!

<+∞.

(b) Soit f : Ω→R une fonction mesurable minor´ee par1. Montrer que sif ∈L^q(µ), alors f ∈L^p(µ).

(c) Pourf : Ω→Rmesurable,L^p-int´egrable etn∈N, on note En={_n+1¹ ≤ |f|<_n¹}. Montrer que En∈ A_∞.

(d) En d´eduire que

L^q(µ)⊂L^p(µ).

4. Donner un exemple de mesure sur un compact ne satisfaisant pas (1). Qu’en est-il des mesures de probabilit´e ?

Exercice 3. On consid`ere un jeu o`u il y a une infinit´e d´enombrable de joueurs not´es(J₀, J₁, . . . , J_n, . . .).

Les joueurs s’affrontent lors de duels selon les r`egles suivantes :

• Lors du premier duel,J0 affronteJ1. Ce dernier a une probabilit´e p1 de gagner. Le perdant est d´efinitivement ´elimin´e.

• Lors dun-eme duel, le vainqueur du(n−1)-eme duel affronteJn. Ce dernier a une probabilit´e pn de gagner.

• Les diff´erents duels sont ind´ependants.

Le jeu se termine d`es qu’un joueur a gagn´e deux fois (n´ecessairement cons´ecutives).

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1. On suppose dans cette question que la probabilit´e de gagner est la mˆeme quel que soit le joueur, i.e. pour toutn≥1, p_n=p∈(0,1).

(a) Pour toutn∈N, d´ecrire l’´ev´enementD_n={le jeu s’arrˆete `a l’instant n}.

(b) Montrer que le jeu se termine presque sˆurement.

(c) On noteT l’instant o`u le jeu se termine. Pourn≥2, calculerP(T =n).

(d) D´eterminer (si elles existent) la moyenne et la variance deT.

2. On revient maintenant au cas g´en´eral (i.e. la probabilit´e pour le joueur nde gagner son duel est pn). Pourn≥2, on poseβn=Qn

i=2pi.

(a) Exprimer la probabilit´e que le jeu s’arrˆete `a l’instant n(≥2) en fonction des(βi).

(b) En d´eduire que le jeu s’arrˆete si et seulement si βn tend vers 0 lorsquentend vers +∞.

3. On suppose dans toute la suite de l’exercice qu’il existe α >0 tel que pour touti≥2,

pi = 1− 1 i^α.

(a) En utilisant un ´equivalent de la suitelnβn, donner une condition n´ecessaire et suffisante surαpour que le jeu s’arrˆete.

On rappelle que T d´esigne l’instant o`u le jeu se termine.

(b) Lorsque α= 1, donner la loi deT ainsi que son esp´erance (si elle est d´efinie).

(c) Lorque α <1, donner un ´equivalent de la suite lnβn. En d´eduire un n³(β_n−1−βn)→0 lorsquen→+∞.

(d) Toujours lorsqueα <1, la variable al´eatoire T est-elle int´egrable ?

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