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2 R´ eduction des endomorphismes sym´ etriques

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

E d´esigne un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N. Le produit scalaire sur E sera not´e

< ., . >.

1 Endomorphismes sym´ etriques - G´ en´ eralit´ es

D´efinition 1 Soit u un endomorphisme de E. On dit que u est un endomorphisme sym´etrique de E si :

∀x, y∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i

Notation : On noteS(E) l’ensemble des endomorphismes sym´etriques sur E.

Proposition 1 S(E) est un sous espace vectoriel deL(E).

Preuve - S(E)⊂L(E) S(E)6=∅car idE ∈S(E).

Soient u, v∈S(E), α, β∈R.

h(αu+βv)(x), yi = hαu(x) +βv(x), yi

= αhu(x), yi+βhv(x), yi (bilin´earit´e du produit scalaire)

= αhx, u(y)i+βhx, v(y)i(car u, v∈S(E))

= hx,(αu+βv)(y)i (bilin´earit´e du produit scalaire)

Donc αu+βv∈S(E). 2

Proposition 2 Soit u une application de E dans E. u est un endomorphisme sym´etrique si et seulement si :

∀x, y∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i

Preuve - La condition est n´ecessaire (c’est la d´efinition mˆeme d’un endomorphique sym´etrique).

La condition est suffisante : Supposons que l’applicationu v´erifie :

∀x, y∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i

(2)

Il s’agit de montrer queu est lin´eaire.

Soient x1, x2 ∈E, α∈R.

hu(x1+αx2), yi = hx1+αx2, u(y)i

= hx1, u(y)i+αhx2, u(y)i (bilin´earit´e du produit scalaire)

= hu(x1), yi+αhu(x2), yi

= hu(x1) +αu(x2), yi(bilin´earit´e du produit scalaire) Donc : ∀y∈E,hu(x1) +αu(x2), yi=hu(x1) +αu(x2), yi

doncu(x1+αx2) =u(x1) +αu(x2).

u est donc lin´eaire. 2

Th´eor`eme 1 Caract´erisation matricielle :

Soit u un endomorphisme de E. u est sym´etrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est sym´etrique.

Preuve - Soite= (e1, ..., en) une base orthonormale de E telle quemat(u;e) soit sym´etrique.

Soit M = (mij)16i6n 16j6n

=mat(u;e). AlorstM =M. Soient x, y∈E, X =mat(x;e), Y =mat(y;e).

hu(x), yi = t(M X)Y (car la base est orthonormale)

= tXtM Y (r`egle de calcul sur les transpos´ees) hx, u(y)i = tX(M M Y)

= tM Y

CommetM =M, on a donc :∀x, y∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i.uest donc sym´etrique.

Siu est un endomorphisme sym´etrique, alors pour tousx, y∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i Soit e= (e1, ...en) une base orthonormale de E.

Soit M = (mij)16i6n 16j6n

la matrice deu relativement `a la basee.

Alors pour tous X, Y ∈ Mn,1(R),tXtM Y =tXM Y. DonctM =M et doncM est sym´etrique. 2

Proposition 3 Soit u un endomorphisme de E. Alors :

(ker(u))= Im(u),(Im(u)) = ker(u) etE = ker(u)⊕Im(u)

Si F est un sous espace vectoriel de E stable par u, alors F est stable par u.

Preuve - Soity∈Im(u).∃x∈E, u(x) =y.

Soit z∈ker(u).

(3)

hy, zi = hu(x), zi

= hx, u(z)i(car u∈S(E))

= hx,0i (car z∈ker(u))

= hx,0i

= 0 doncy ∈(ker(u)) donc Im(u)⊂(ker(u)).

Soit y∈(Im(u)).

kxk2 = hu(y), u(y)i

= hy, u◦u(y)i (caru∈S(E))

= 0 (cary∈(Im(u)) etu◦u(y)∈Im(u)) doncu(y) = 0

doncy ∈ker(u)

donc (Im(u))⊂ker(u)

donc (ker(u))⊂(Im(u))⊥⊥ (voir chapitre espaces euclidiens) Or, (Im(u))⊥⊥= Im(u) (voir chapitre espaces euclidiens) Donc (ker(u)) ⊂Im(u).

(ker(u))= Im(u) donc (ker(u))⊥⊥= (Im(u)). Or (ker(u))⊥⊥= ker(u) donc ker(u) = (Im(u)).

ker(u) est un sous espace vectoriel de E doncE = ker(u)⊕(ker(u)) (voir chapitre espaces eucli- diens).

Or, (ker(u))= Im(u) donc E= ker(u)⊕Im(u).

Soit E un sous espace vectoriel de E stable par u.

Soit x∈F. Soity∈F.

hu(x), yi = hx, u(y)i

= 0 (carx∈F, u(y)∈F carF est stable par u)

doncu(x)∈F doncu(F)⊂F. 2

(4)

2 R´ eduction des endomorphismes sym´ etriques

Th´eor`eme 2 Soit u un endomorphisme de E. Alors : (i) Les sous espaces propres de u sont en somme directe ;

(ii) χu est scind´e dans R[X] (donc toutes les valeurs propres de u sont r´eelles) ;

(iii) u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E form´ee de vecteurs propres de u.

Preuve - (i) Soientx, ydeux vecteurs propres de uassoci´es `a des valeurs propres distinctesλet ξ.

Alors u(x) =λxetu(y) =ξy.

hu(x), yi = hλx, yi

= λhx, yi Mais on a aussi :

hu(x), yi = hx, u(y)i

= hx, ξyi

= ξhx, yi

Par cons´equent,λhx, yi=ξhx, yi donc (λ−ξ)hx, yi= 0. Or, λ−ξ6= 0 donchx, yi= 0, c’est-`a-dire x⊥y.

Par ailleurs, les sous espaces propres de usont en somme directe (voir chapitre «´el´ements propres d’un endomorphisme»), d’o`u le r´esultat.

(ii) χu, consid´er´e comme ´el´ement de C[X] est scind´e sur C[X]. Soit λune racine de χu dansC (λ est valeur propre complexe de u). Soitxun vecteur propre associ´e `a la valeur propreλ:u(x) =λx.

Soient eune base orthonormale deE ,M =mat(u;e) et X =mat(x;e). on a donc :

M X = λX

tXM X = λtXX

t(tXM X) = λt(tXX)

tXtM X = λtXX

tXtM X = λtXX

Or M =M car M est `a coefficients r´eels et tM =M carM est sym´etrique donctXM X =λtXX. Par cons´equent,λtXX =λtXX.

SiX =

 x1

... xn

, alors tXX = Pn

i=1

|xi|2 donctXX 6= 0 car x6= 0.

Par cons´equent,λ=λdoncλ∈R. Les valeurs propres deu sont r´eelles etχu est scind´e dansR[X].

(iii) D´emonstration par r´ecurrence sur la dimension de E. notons P(n) la propri´et´e suivante :

(5)

«siE est un espace euclidien de dimensionnet siuest un endomorphisme sym´etrique deE, alors u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E form´ee de vecteurs propres de u». Pour n= 1, le r´esultat est imm´ediat.

Soit n∈N. SupposonsP(n) vraie.

SoitE un espace euclidien de dimensionn+ 1. Soit uun endomorphisme sym´etrique deE. D’apr`es (ii),uadmet au moins une valeur propre r´eelleλ. Soite1 un vecteur propre unitaire associ´e `aλ. Soit F = (Vect(e1)). Vect(e1) ´etant un sous espace vectoriel stable paru,F est aussi stable paru(voir paragraphe pr´ec´edent). NotonsuF l’endomorphisme induit paru surF.uF est un endomorphisme sym´etrique de F et dim(F) =dim(E)−dim(Vect(e1)) =n. d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, uF

est diagonalisable et il existe une base orthonormale (e2, ...en+1) de F form´ee de vecteurs propres de uF (donc de u). Alors u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E form´ee de vecteurs propres de u : (e1, ..., en+1).

Donc P(n+ 1) est vraie et par cons´equent P(n) est vraie pour tout n∈N. 2

3 Application ` a la r´ eduction des courbes du second degr´ e

On consid`ere dansR2 la courbe d’´equation :ax2+bxy+cy2+dx+ey+f = 0,a, b, c, d, e, f ´etant des r´eels tels que (a, b, c)6= (0,0,0). Notons (E) cette ´equation. NotonsB la base canonique deR2. Nous allons rechercher une ´equation r´eduite de (E).

Soit q:R2 →Rd´efinie par (x, y)7→ax2+bxy+cy2.q est une forme quadratique surR2. mat(q;B) = a b2

b

2 c

!

. NotonsA cette matrice.

∀x, y∈R, q(x, y) =tXAX, o`uX = x y

! .

Aest une matrice sym´etrique r´eelle doncAest diagonalisable et il existe une base orthonorm´eeBde R2 form´ee de vecteurs propres deA. Il existe doncP ∈O(R2), α, β ∈R tels quetP AP = α 0

0 β

! .

SiX = x y

!

∈R2, notons X =P1X= x y

!

. On a alors : q(x, y) = tXAX

= t(P X)AP X

= tX(tP AP)X

=

x y

α 0 0 β

! x y

!

= αx2+βy2

(6)

Soit l:R2→Rd´efinie par (x, y)7→dx+ey+f. l(x, y) =LX+f, o`u L=

d e

.LP ∈ M1,2(R). NotonsLP = g h

. l(x, y) =LP X+f =gx+hy+f

Donc dans le nouveau rep`ere, l’´equation (E) devient :αx2+βy2+gx+hy+f = 0.

1er cas : α= 0 etβ 6= 0.

βy2+gx+hy+f = β

y2+hβy

+gx+f

= β

y+2hβ2

h4β2

+gx+f

= β

y+2hβ2

+gx4hβ2 +f Effectuons le changement de rep`ere :

( x” =x y” =y+2hβ

C’est une translation d’un rep`ere orthonorm´e donc le nouveau rep`ere est aussi orthonorm´e.

(E) devient dans le nouveau rep`ere :βy”2+gx” +f= 0, avec f =f −h4β2. 2`eme cas :β = 0 etα6= 0.

On aboutit de mˆeme `a une ´equation r´eduite de la forme αx”2+hy” +f = 0.

3`eme cas :α6= 0 etβ 6= 0.

αx2+βy2+gx+hy+f = α x2+αgx

y2+hβy +f

= αh

x+g 2

4gα22i +β

y+h 2

4hβ22

+f

= α x2+2gα2

y+2hβ2

+f Effectuons le changement de rep`ere :

( x” =x+ 2gα y” =y+h

(E) devient dans le nouveau rep`ere orthonorm´e :αx”2+βy”2+f = 0.

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