2 R´ eduction des endomorphismes sym´ etriques

(1)

E d´esigne un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N^∗. Le produit scalaire sur E sera not´e

< ., . >.

1 Endomorphismes sym´ etriques - G´ en´ eralit´ es

D´efinition 1 Soit u un endomorphisme de E. On dit que u est un endomorphisme sym´etrique de E si :

∀x, y∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i

Notation : On noteS(E) l’ensemble des endomorphismes sym´etriques sur E.

Proposition 1 S(E) est un sous espace vectoriel deL(E).

Preuve - S(E)⊂L(E) S(E)6=∅car id_E ∈S(E).

Soient u, v∈S(E), α, β∈R.

h(αu+βv)(x), yi = hαu(x) +βv(x), yi

= αhu(x), yi+βhv(x), yi (bilin´earit´e du produit scalaire)

= αhx, u(y)i+βhx, v(y)i(car u, v∈S(E))

= hx,(αu+βv)(y)i (bilin´earit´e du produit scalaire)

Donc αu+βv∈S(E). 2

Proposition 2 Soit u une application de E dans E. u est un endomorphisme sym´etrique si et seulement si :

Preuve - La condition est nécessaire (c’est la définition même d’un endomorphique symétrique).

La condition est suffisante : Supposons que l’applicationu v´erifie :

(2)

Il s’agit de montrer queu est lin´eaire.

Soient x1, x2 ∈E, α∈R.

hu(x1+αx2), yi = hx1+αx2, u(y)i

= hx1, u(y)i+αhx2, u(y)i (bilin´earit´e du produit scalaire)

= hu(x1), yi+αhu(x2), yi

= hu(x1) +αu(x2), yi(bilin´earit´e du produit scalaire) Donc : ∀y∈E,hu(x1) +αu(x2), yi=hu(x1) +αu(x2), yi

doncu(x1+αx2) =u(x1) +αu(x2).

u est donc lin´eaire. 2

Théorème 1 Caractérisation matricielle :

Soit u un endomorphisme de E. u est sym´etrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est sym´etrique.

Preuve - Soite= (e1, ..., e_n) une base orthonormale de E telle quemat(u;e) soit sym´etrique.

Soit M = (mij)16i6n 16j6n

=mat(u;e). Alors^tM =M. Soient x, y∈E, X =mat(x;e), Y =mat(y;e).

hu(x), yi = ^t(M X)Y (car la base est orthonormale)

= ^tX^tM Y (r`egle de calcul sur les transpos´ees) hx, u(y)i = ^tX(M M Y)

= ^tM Y

Comme^tM =M, on a donc :∀x, y∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i.uest donc sym´etrique.

Siu est un endomorphisme sym´etrique, alors pour tousx, y∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i Soit e= (e1, ...en) une base orthonormale de E.

Soit M = (m_ij)16i6n 16j6n

la matrice deu relativement `a la basee.

Alors pour tous X, Y ∈ Mn,1(R),^tX^tM Y =^tXM Y. Donc^tM =M et doncM est sym´etrique. 2

Proposition 3 Soit u un endomorphisme de E. Alors :

(ker(u))^⊥= Im(u),(Im(u))^⊥ = ker(u) etE = ker(u)⊕^⊥Im(u)

Si F est un sous espace vectoriel de E stable par u, alors F^⊥ est stable par u.

Preuve - Soity∈Im(u).∃x∈E, u(x) =y.

Soit z∈ker(u).

(3)

hy, zi = hu(x), zi

= hx, u(z)i(car u∈S(E))

= hx,0i (car z∈ker(u))

= hx,0i

= 0 doncy ∈(ker(u))^⊥ donc Im(u)⊂(ker(u))^⊥.

Soit y∈(Im(u))^⊥.

kxk² = hu(y), u(y)i

= hy, u◦u(y)i (caru∈S(E))

= 0 (cary∈(Im(u))^⊥ etu◦u(y)∈Im(u)) doncu(y) = 0

doncy ∈ker(u)

donc (Im(u))^⊥⊂ker(u)

donc (ker(u))^⊥⊂(Im(u))^⊥⊥ (voir chapitre espaces euclidiens) Or, (Im(u))^⊥⊥= Im(u) (voir chapitre espaces euclidiens) Donc (ker(u))^⊥ ⊂Im(u).

(ker(u))^⊥= Im(u) donc (ker(u))^⊥⊥= (Im(u))^⊥. Or (ker(u))^⊥⊥= ker(u) donc ker(u) = (Im(u))^⊥.

ker(u) est un sous espace vectoriel de E doncE = ker(u)⊕(ker(u))^⊥ (voir chapitre espaces euclidiens).

Or, (ker(u))^⊥= Im(u) donc E= ker(u)⊕^⊥Im(u).

Soit E un sous espace vectoriel de E stable par u.

Soit x∈F^⊥. Soity∈F.

hu(x), yi = hx, u(y)i

= 0 (carx∈F^⊥, u(y)∈F carF est stable par u)

doncu(x)∈F^⊥ doncu(F^⊥)⊂F^⊥. 2

(4)

2 R´ eduction des endomorphismes sym´ etriques

Th´eor`eme 2 Soit u un endomorphisme de E. Alors : (i) Les sous espaces propres de u sont en somme directe ;

(ii) χu est scind´e dans R[X] (donc toutes les valeurs propres de u sont r´eelles) ;

(iii) u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E form´ee de vecteurs propres de u.

Preuve - (i) Soientx, ydeux vecteurs propres de uassoci´es `a des valeurs propres distinctesλet ξ.

Alors u(x) =λxetu(y) =ξy.

hu(x), yi = hλx, yi

= λhx, yi Mais on a aussi :

hu(x), yi = hx, u(y)i

= hx, ξyi

= ξhx, yi

Par cons´equent,λhx, yi=ξhx, yi donc (λ−ξ)hx, yi= 0. Or, λ−ξ6= 0 donchx, yi= 0, c’est-`a-dire x⊥y.

Par ailleurs, les sous espaces propres de usont en somme directe (voir chapitre «éléments propres d’un endomorphisme»), d’où le résultat.

(ii) χ_u, considéré comme élément de C[X] est scindé sur C[X]. Soit λune racine de χ_u dansC (λ est valeur propre complexe de u). Soitxun vecteur propre associé à la valeur propreλ:u(x) =λx.

Soient eune base orthonormale deE ,M =mat(u;e) et X =mat(x;e). on a donc :

M X = λX

tXM X = λ^tXX

t(^tXM X) = λ^t(^tXX)

tX^tM X = λ^tXX

Or M =M car M est à coefficients réels et ^tM =M carM est symétrique donc^tXM X =λ^tXX. Par conséquent,λ^tXX =λ^tXX.

SiX =





 x1

... xn







, alors ^tXX = Pⁿ

i=1

|xi|² donc^tXX 6= 0 car x6= 0.

Par conséquent,λ=λdoncλ∈R. Les valeurs propres deu sont réelles etχ_u est scindé dansR[X].

(iii) Démonstration par récurrence sur la dimension de E. notons P(n) la propriété suivante :

(5)

«siE est un espace euclidien de dimensionnet siuest un endomorphisme symétrique deE, alors u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de u». Pour n= 1, le résultat est immédiat.

Soit n∈N^∗. SupposonsP(n) vraie.

SoitE un espace euclidien de dimensionn+ 1. Soit uun endomorphisme symétrique deE. D’après (ii),uadmet au moins une valeur propre réelleλ. Soite1 un vecteur propre unitaire associé àλ. Soit F = (Vect(e1))^⊥. Vect(e1) étant un sous espace vectoriel stable paru,F est aussi stable paru(voir paragraphe précédent). Notonsu_F l’endomorphisme induit paru surF.u_F est un endomorphisme symétrique de F et dim(F) =dim(E)−dim(Vect(e1)) =n. d’après l’hypothèse de récurrence, uF

est diagonalisable et il existe une base orthonormale (e2, ...e_n+1) de F form´ee de vecteurs propres de u_F (donc de u). Alors u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E form´ee de vecteurs propres de u : (e1, ..., e_n+1).

Donc P(n+ 1) est vraie et par cons´equent P(n) est vraie pour tout n∈N^∗. 2

3 Application ` a la r´ eduction des courbes du second degr´ e

On considère dansR² la courbe d’équation :ax²+bxy+cy²+dx+ey+f = 0,a, b, c, d, e, f étant des réels tels que (a, b, c)6= (0,0,0). Notons (E) cette équation. NotonsB la base canonique deR². Nous allons rechercher une équation réduite de (E).

Soit q:R² →Rd´efinie par (x, y)7→ax²+bxy+cy².q est une forme quadratique surR². mat(q;B) = a ^b₂

b

2 c

!

. NotonsA cette matrice.

∀x, y∈R, q(x, y) =^tXAX, o`uX = x y

! .

Aest une matrice symétrique réelle doncAest diagonalisable et il existe une base orthonorméeB^′de R² formée de vecteurs propres deA. Il existe doncP ∈O(R²), α, β ∈R tels que^tP AP = α 0

0 β

! .

SiX = x y

!

∈R², notons X^′ =P⁻¹X= x^′ y^′

!

. On a alors : q(x, y) = ^tXAX

= ^t(P X^′)AP X^′

= ^tX^′(^tP AP)X^′

=

x^′ y^′

α 0 0 β

! x^′ y^′

!

= αx^′²+βy^′²

(6)

Soit l:R²→Rd´efinie par (x, y)7→dx+ey+f. l(x, y) =LX+f, o`u L=

d e

.LP ∈ M1,2(R). NotonsLP = g h

. l(x, y) =LP X^′+f =gx^′+hy^′+f

Donc dans le nouveau rep`ere, l’´equation (E) devient :αx^′²+βy^′²+gx^′+hy^′+f = 0.

1er cas : α= 0 etβ 6= 0.

βy^′²+gx^′+hy^′+f = β

y^′²+^h_βy^′

+gx^′+f

= β

y^′+₂^h_β²

−^h₄_β²

+gx^′+f

= β

y^′+₂^h_β2

+gx^′−₄^h_β² +f Effectuons le changement de rep`ere :

( x” =x^′ y” =y^′+₂^h_β

C’est une translation d’un repère orthonormé donc le nouveau repère est aussi orthonormé.

(E) devient dans le nouveau rep`ere :βy”²+gx” +f^′= 0, avec f^′ =f −^h₄_β². 2`eme cas :β = 0 etα6= 0.

On aboutit de même à une équation réduite de la forme αx”²+hy” +f^′ = 0.

3`eme cas :α6= 0 etβ 6= 0.

αx^′²+βy^′²+gx^′+hy^′+f = α x^′²+_α^gx^′ +β

y^′²+^h_βy^′ +f

= αh

x^′+_2α^g 2

−₄^g_α²₂i +β

y^′+_2β^h 2

−₄^h_β²₂

+f

= α x^′²+₂^g_α2

+β

y^′+₂^h_β2

+f^′ Effectuons le changement de rep`ere :

( x” =x^′+ ₂^g_α y” =y^′+_2β^h

(E) devient dans le nouveau rep`ere orthonorm´e :αx”²+βy”²+f^′ = 0.