Montrer que si la restriction def `a O, qu’on notef|O est continue alorsf est continue en tout point deO

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2018-2019 Math IV Analyse

Feuille d’exercices n^o4

Continuit´e des fonctions vectorielles

Exercice 1. Soit (E,k k_E) et (F,k k_F) deux espaces vectoriels norm´es et soitOun ouvert deE.

1. Montrer que si la restriction def `a O, qu’on notef|O est continue alorsf est continue en tout point deO.

2. Supposons queE=O1SO2avecO1,O2ouverts de E. En d´eduire que si les restrictionsf|O₁ etf|O₂ sont continues alorsf est continue surE .

Exercice 2. (Facultatif)

Soient (E,k k) un espace vectoriel norm´e eta∈E non nul. On consid`ere l’applicationf :E−→Rd´efinie par :

∀x∈E, f(x) =

kx−ak sikxk ≤ kak 0 sikxk>kak

1. Montrer que les ensemblesU ={x∈E| kxk<kak}etV ={x∈E| kxk>kak}sont deux ouverts de E.

2. Montrer quef est continue surU et V.

3. Montrer quef est continue enaet discontinue en −a.

Exercice 3. (La continuit´e et la densit´e)

Soient (E,k kE) et (F,k kF) deux espaces vectoriels norm´es et soitf :E→F surjective continue. Montrer que siA⊂E est dense dansE alorsf(A) est dense dansF.

Exercice 4. (La “diagonale”)

Soient (E,k kE) et (F,k kF) deux espaces vectoriels norm´es.

1. Montrer que ∆ ={(y, y), y ∈F} est un ferm´e deF×F.

2. Soientf, g:E→F continues. Montrer que

H ={x∈E;f(x) =g(x)}

est un ferm´e deE.

3. Montrer que sif, gcoincident sur une partieA dense dansE alorsf =gsurE.

Exercice 5. (La continuit´e et la compacit´e) Soient (E,k kE) et (F,k kF) deux espaces vectoriels norm´es, f : E−→F une application continue deE versF, etA⊂E.

1. Montrer que l’applicationx7→ kf(x)k deEdansRest continue.

2. Montrer que siAest compact, alorsf(A) est born´e.

3. Montrer que le point pr´ec´edent est faux siA n’est pas compact.

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Exercice 6. (La continuit´e des applications lin´eaires) Soient (E,kkE) et (F,kkF) deux espaces vectoriels norm´es et f :E−→F une application lin´eaire. Montrer que les ´enonc´es suivants sont ´equivalents :

1. f est continue ; 2. f est continue en 0 ;

3. f est born´ee sur la boule unit´e.

4. Il existeC≥0 tel quekf(x)kF ≤CkxkE,∀x∈E.

D´eduire de cette ´equivalence que toute application lin´eairef :Rⁿ−→R^m est continue.

Exercice 7. (Facultatif)

On munitR[X] de la normek · k∞, d´efinie pourP(X) =

n

X

k=0

akX^k parkPk∞= max

0≤k≤n|ak|. Pourc∈R, on d´efinit la forme lin´eaire suivante :

φ_c : (R[X],k · k) −→ (R,| · |) P 7−→ P(c)

.

Montrer que la forme lin´eaireφ_c est continue si et seulement sic∈]−1; 1[. Dans ce cas, d´eterminer la norme de φc.

Exercice 8. SoitE un espace vectoriel sur lequel toutes les normes sont ´equivalentes. Soitk k une norme surE et f une forme lin´eaire surE.

1. Montrer quex∈E7−→ kxk+|f(x)|d´efinit une norme surE.

2. En d´eduire quef est continue.

Exercice 9. (Fonctions Lipschitziennes) Soient (E,k kE) et (F,k kF) deux espaces vectoriels norm´es et soit f :E→F . On dit quef est Lipschitizienne s’il existe K >0 tel que l’on ait pour toutx1, x2∈E,

kf(x₁)−f(x₂)kF ≤Kkx1−x₂kE.

1. Montrer que la compos´ee de deux apllications Lipschitziennes est Lipschitzienne.

2. Montrer qu’une application Lipschitzienne est uniform´ement continue mais la r´eciproque n’est pas vraie (consid´erer sur [0,¹₂] la fonctionf(x) = _ln¹_x six6= 0 etf(0) = 0).

3. SoitAune partie non vide de E. On consid`ere l’application distance `aA,dA:E−→Rd´efinie par :

∀x∈E, dA(x) = inf{kx−akE|a∈A}. (1)

a. Montrer quedAest continue.

b. On suppose d´esormais queA est une partie compacte de E. Soitx∈E. Montrer qu’il existea∈Atel quedA(x) =kx−akE.

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