DEVOIR A LA MAISON N°1 2
nde.
Pour le Dans les exercices, citer les théorèmes utilisés.
I. La figure ci-contre représente un triangle IJK isocèle en J, et la hauteur [ IM ] issue de I. On ne demande pas de refaire la figure.
On sait que les segments [IJ ] et [JK ] mesurent 8 cm et que l'aire du triangle IJK est 24 cm
2.
1. Démontrer que la longueur h du segment [IM] est égale à 6 cm.
2. Calculer la longueur JM .
3. Calculer la mesure arrondie au degré près de l'angle IJK . II. (On complétera la figure au fur et à mesure.)
1. Construire un triangle ABC isocèle en B tel que AB 5 cm et ABC 120°.
2. On appelle H le pied de la hauteur issue de B dans ce triangle.
a. Quelle est la mesure de l’angle HBC ? Justifier la réponse.
b. Calculer la distance BH.
3. Le cercle de centre B et de rayon 5 cm coupe la droite (AB ) en D et en A.
a. Montrer que les droites ( BH) et (DC ) sont parallèles.
b. Calculer la distance DC .
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°1 2
nde.
I.
1. L'aire d'un triangle est: b h
2 , donc Aire( IJK) JK IM 2
8 h
2 4h donc 4h 24 et h 24
4 6. La hauteur est de 6 cm.
2. Dans le triangle IJM rectangle en M, on a, d après le th de Pythagore : IJ² IM² MJ²
8² 6² JM² JM² 64 36 28
JM 28 2 7 5,3
[JM] mesure 2 7 cm, soit environ 5,3 cm.
3. Dans le triangle IJM rectangle en M, on a : sin IJK IM
IJ 6 8
3
4 donc IJK 49° arrondi au degré.
II.
1. La figure ci-contre est une réduction.
2.
a. Dans le triangle ABC isocèle en B, [BH) est la hauteur issue de B.
Or dans un triangle isocèle, la médiatrice de la base, la hauteur et la médiane issues du sommet principal ainsi que la bissectrice de l'angle principal sont confondues. Ainsi, [BH) est la bissectrice de l'angle ABC.
Alors HBC ABC 2
120
2 60. L angle HBC mesure 60°.
b. Dans le triangle CBH rectangle en H, on a : cos HBC BH BC Donc BH BC cos HBC 5 cos(60°) 2,5.
[BH ] mesure 2,5cm.
3.
a. Dans le triangle ADC, C est un point du cercle de centre B et de diamètre [AD].
Or si un triangle est inscrit dans un cercle en ayant un diamètre du cercle pour côté, alors ce triangle est rectangle.
Donc le triangle ADC est rectangle en C.
On a: (BH) (AC) Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, (CD) (AC) alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (BH) (CD)
b. [BH) est la médiane issue de B dans le triangle ABC, Donc H est le milieu de [AC].
Dans le triangle ADC, B est le milieu de [AD] et H est le milieu de [AC]
Or dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Donc CD 2BH 2 2,5 5. [CD ] mesure 5 cm.
B A
C
D H
