Seconde 4 Mathématiques DM 04 à rendre le lundi 30 novembre 2009
exercice 1
Dans un triangle isocèle ABC de sommet A , soit M le milieu de [BC] .
La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en H et I est le milieu de [MH] . Le but de l'exercice est de montrer que les droites (AI) et (BH) sont perpendiculaires .
Indications :
Rajouter le point J milieu de [CH]
Montrer que M est l'orthocentre du triangle AIJ Conclure
exercice 2
1) Soit x = 0,027 027 027 ………… . On dit que x admet un développement décimal illimité de période 027 d'ordre 3 (pour les 3 chiffres de 027).
Ecrire x sous forme de fraction irréductible.
2) Déterminer le plus petit entier m tel que l'inverse x de m , admette un développement décimal illimité périodique d'ordre 5.
indications: 1
m = x = 0,NNN……. où N est un entier positif à 5 chiffres abcde 2 à 2 distincts En écrivant x sous forme de fraction irréductible , montrer que m divise 99999 Conclure
exercice 3
On considère un triangle ABC non rectangle : O est le centre du cercle circonscrit à ABC et H l’orthocentre du triangle .
Soit D le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit .
1) Montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles.
Montrer de même que (CH) et (BD) sont parallèles . En déduire que [BC] et [HD] ont même milieu, noté K
2) Soit H’ symétrique de H par rapport à la droite (BC).
Montrer que le triangle HH’D est rectangle en H’ .
3) En déduire que H’ appartient au cercle circonscrit au triangle ABC .
A
B C H
O
H' D
