Le but de l'exercice est de montrer que les droites (AI) et (BH) sont perpendiculaires

Seconde 4 Mathématiques DM 04 à rendre le lundi 30 novembre 2009

exercice 1

Dans un triangle isocèle ABC de sommet A , soit M le milieu de [BC] .

La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe (AC) en H et I est le milieu de [MH] . Le but de l'exercice est de montrer que les droites (AI) et (BH) sont perpendiculaires .

Indications :

Rajouter le point J milieu de [CH]

Montrer que M est l'orthocentre du triangle AIJ Conclure

exercice 2

1) Soit x = 0,027 027 027 ………… . On dit que x admet un développement décimal illimité de période 027 d'ordre 3 (pour les 3 chiffres de 027).

Ecrire x sous forme de fraction irréductible.

2) Déterminer le plus petit entier m tel que l'inverse x de m , admette un développement décimal illimité périodique d'ordre 5.

indications: 1

m = x = 0,NNN……. où N est un entier positif à 5 chiffres abcde 2 à 2 distincts En écrivant x sous forme de fraction irréductible , montrer que m divise 99999 Conclure

exercice 3

On considère un triangle ABC non rectangle : O est le centre du cercle circonscrit à ABC et H l’orthocentre du triangle .

Soit D le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit .

1) Montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles.

Montrer de même que (CH) et (BD) sont parallèles . En déduire que [BC] et [HD] ont même milieu, noté K

2) Soit H’ symétrique de H par rapport à la droite (BC).

Montrer que le triangle HH’D est rectangle en H’ .

3) En déduire que H’ appartient au cercle circonscrit au triangle ABC .

A

B C H

O

H' D