Devoir ` a la maison n o 3

Universit´e de Nantes. 2007/2008

L3 Th´eorie de la mesure et int´egration

Devoir ` a la maison n ^o 3

Int´egration et Variables Al´eatoires

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a rendre au plus tard le 28 avril 2008

Exercice 1. SoitX une variable al´eatoire sur un espace de probabilit´es(Ω,F,P)de densit´ef par rapport `a la mesure de Lebesgue d´efinie par

f(x) = 1 ln 2

1

1 +x10<x<1. Montrer que la variable al´eatoireY d´efinie par

Y = 1

X −

1 X

, o`u [·] d´esigne la fonction partie enti`ere, suit la mˆeme loi que X.

Exercice 2 (Inclusions d’espaces L^p). Soit(Ω,F, µ)un espace mesur´e. On note A_∞={A⊂ F; µ(A)<+∞}.

1. Soient1≤p < q <+∞. On suppose qu’il existe un r´eelktel que pour toute fonction f ∈L^q(µ), kfkp≤kkfkq.

Montrer qu’alors,

sup

A∈A∞

µ(A)<+∞. (1)

2. On munit Rde la tribu des bor´eliens. La mesure de Lebesgueλ sur cet espace satisfait-elle une des deux assertions pr´ec´edentes ? (votre r´eponse devra ˆetre justifi´ee)

3. On suppose maintenant que µv´erifie (1). Soient1≤p < q <+∞.

(a) Soit(A_n)_n∈N∈ A^N_∞ une suite d’ensembles disjoints. Montrer que

µ [

n∈N

An

!

<+∞.

(b) Soit f : Ω→R une fonction mesurable minor´ee par1. Montrer que sif ∈L^q(µ), alors f ∈L^p(µ).

(c) Pourf : Ω→Rmesurable,L^p-int´egrable etn∈N, on note E_n={_n+1¹ ≤ |f|<_n¹}. Montrer que E_n∈ A_∞.

(d) En d´eduire que

L^q(µ)⊂L^p(µ).

4. Donner un exemple de mesure sur un compact ne satisfaisant pas (1). Qu’en est-il des mesures de probabilit´e ?

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