Universit´e de Nantes. 2007/2008
L 3 Th´eorie de la mesure et int´egration
Devoir ` a la maison n o 1
Ensembles Mesurables et Mesurabilit´e
`
a rendre au plus tard le 21 f´evrier 2008
Dans les exercices suivants, on consid`ere l’espace de probabilit´e ([0,1],B([0,1]), λ) o`uB([0,1]) d´esigne la tribu des bor´eliens etλla mesure de Lebesgue.
Exercice 1. On noteQl’ensemble des rationnels etV =Q∩[0,1]l’ensemble des nombres rationnels de[0,1].
1. Montrer que V est mesurable par rapport `a la mesure de Lebesgue et qu’il existe une suite (vn) telle que pour tout r´eelk >0,
V ⊂Gk := [
n∈N
vn−k2−n, vn+k2−n
∩[0,1].
2. Estimer la mesureλ(Gk).
3. Soit (k)une suite d´ecroissante tendant vers0. Calculer la mesureλ(H)de l’ensemble H d´efini par
H = \
k∈N
Gk.
4. Montrez que pour tout k∈N,Gck ne contient pas d’intervalle (non trivial). En utilisant le th´eor`eme de Baire et en raisonnant par l’absurde, montrez queH est un ensemble non d´enombrable.
5. En notantIn,k= ]vn−k2−n, vn+k2−n[∩[0,1], comparez
\
k
[
n
In,k et [
n
\
k
In,k.
On rappelle leth´eor`eme de Baire: Soit S un espace m´etrique complet. S’il existe une suite d´enombrable d’espaces ferm´es(Fn) tels queS=S
n∈NFn,alors il existe un entier ntel queFn contienne une boule ouverte.
Exercice 2 (L’escalier du diable). Pour toute r´eunion finie d’intervalles∪In, on d´efinit l’applications qui supprime au centre de chacun des intervalles un intervalle de longueur |I3n|.
Ainsi, partant deI0= [0,1], on construit la suite de sous-ensembles de[0,1]suivante :
• s(I0) = [0,1/3]∪[2/3,1],
• s2(I0) = [0,1/9]∪[2/9,3/9]S[6/9,7/9]∪[8/9,9/9]
• . . .
On s’int´eresse dans cet exercice `a l’ensemble
K= \
n∈N
sn(I0).
1. Montrer que l’ensemble K est un compact non vide.
2. Montrer que K est bor´elien puis calculer sa mesure λ(K).
Rappelons que tout nombre appartenant `a l’intervalle [0,1]peut s’´ecrire sous la forme
∞
X
i=1
i
3i,
o`ui∈ {0,1,2}. Cette d´ecomposition est appel´ee d´ecomposition triadique.
3. Montrer queK est l’ensemble des r´eels de [0,1]dont la d´ecomposition triadique ne comporte que des 0 et des2. En d´eduire queK n’est pas d´enombrable.
1
4. On d´efinit l’applicationφpour toute suite(ai)∈ {0,1}N par
φ X
i∈N∗
2ai
3i
!
= X
i∈N∗
ai
2i.
Montrer queφpeut se prolonger en une fonction constante presque partout sur l’intervalle[0,1](on pourra remarquer que tout r´eelx∈[0,1]il existe deux ´el´ements x1, x2 deK tels quex∈[x1, x2[).
5. Montrer que φest croissante de[0,1]dans [0,1], puis que φ(K) = [0,1].
6. En d´eduire queφest bor´elienne.
7. Montrer que φest d´erivable presque partout et calculer sa d´eriv´ee sur cet ensemble de mesure 1.
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