2.2 Th´ eor` eme de Baire

(1)

2 Espaces de Banach

2.1 D´ efinition et exemples

SoitX un espace vectoriel complexe. Une fonction positivek · kdéfinie surX est appelée une norme si elle vérifie (1.4), et la relationkuk = 0 implique que u= 0. Toute norme surX définit une distance par la formuleku−vk.

Définition 2.1. Un espace vectoriel X muni d’une norme k · kest appelé un espace de Banachsi il est complet par rapport à la distance définie par la norme.

Considérons quelques exemples. Rappelons que les espaces ℓ,C([a, b]) etP sont définis dans les exemples 1.5. Pour 1 ≤ p < ∞, définissons les fonctions suivantes sur ces espaces :

kxkℓ^p= ^∞

X

n=1

|xn|^p 1/p

, kxkℓ^∞ = sup

n≥1

|xn|,

kfkL^p(a,b)= Z b

a

|f(x)|^pdx 1/p

, kfkL^∞(a,b)= ess sup

x∈[a,b]

|f(x)|, kgkL^∞ = sup

z∈D

|g(z)|,

o`ux ∈ℓ,f ∈C([a, b]) etg∈ P.

Exercice 2.2. Montrer quek · kℓ^∞,k · kL^∞(a,b)etk · kL^∞(D)sont des normes sur des espaces correspondants et queC([a, b]) est un espace de Banach, maisℓetP ne l’ont pas.

Proposition 2.3. Les fonctions k · kℓ^p et k · kL^p(a,b) sont des normes sur les espacesℓ etC([a, b]) respectivement, mais ces espaces ne sont pas complets.

Démonstration. La deuxième relation de (1.4) est évidente, donc nous n’allons montrer que l’inégalité. On admet l’inégalité de Hölder :

∞

X

n=1

xnyn

≤ ^∞

X

n=1

|xn|^p

^1/p ^∞ X

n=1

|yn|^q ^1/q

, (2.1)

Z b a

f(x)g(x)dx

≤ Z b

a

|f(x)|^pdx

1/pZ b a

|g(x)|^qdx 1/q

, (2.2)

o`u ¹_p+¹_q = 1. Alors on peut ´ecrire

kx +yk^p_ℓp=

∞

X

n=1

|xn+yn|^p≤

∞

X

n=1

|xn+yn|^p−1(|xn|+|yn|)

≤ ^∞

X

n=1

|xn+yn|^p ^p−1_p

kxkℓ^p+kykℓ^p ,

(2)

d’où l’inégalité cherchée pourℓ^p. La même idée marche aussi pourk · kL^p(a,b). Montrons queℓn’est pas complet. En effet, considérons la suite

xj= 1,1

2, . . . , 1

2^j,0,0, . . . .

Alors il est facile `a voir qu’elle est de Cauchy, mais elle n’a pas de limite dansℓ.

Montrons enfin queC([a, b]) n’est pas complet. Pour simplifier, supposons quea=−1 etb= 1. Soit la suite

fj(x) =







−1, x≤ −j⁻¹, jx, |x| ≤j⁻¹,

−1, x≥j⁻¹.

Alors{fj}est de Cauchy, mais elle n’a pas de limite dansC([a, b]).

On introduit la notion decomplétionpour les espaces de Banach de la même manière que dans le cas des espaces de Hilbert ; voir la définition 1.6. Les espaces suivants sont des complétions de ℓ,C([a, b]) ouP pour diverses normes :

1. pour 1≤p <∞, l’espace ℓ^p de suites x = (xn)n≥1 v´erifiant la condition kxkℓ^p<∞est la compl´etion deℓpour la normek · kℓ^p;

2. l’espace ℓ0 de suitesx = (xn)n≥1 qui convergent vers z´ero quandn→ ∞ est la compl´etion deℓpour la normek · kℓ^∞;

3. l’espace L^p(a, b) de fonctions mesurablesf : [a, b]→Cvérifiant la condi- tionkfk_L^p_(a,b)<∞est la complétion deC([a, b]) pour la normek·k_L^p_(a,b); 4. l’espace A^∞(D) de fonctions analytiques f : D → C qui admettent une extension continue surD est la complétion deP pour la normek · k_L^∞_(D). Exercice 2.4. Démontrer les énoncés mentionnées ci-dessus.

2.2 Th´ eor` eme de Baire

Théorème 2.5. SoitX un espace de Banach représenté comme la réunion de sous-ensmblesXn,n≥1. Alors il existe un entiern0tel queXn0 est dense dans une boule.

Démonstration. Supposons que l’adhérenceXn ne contient de boules pour aucun entier n. Alors X \X1 contient une boule non dégénérée B(u1, r1). De même, comme X2 ne contient pas de boule, l’ensemble B(u1, r1)\X2 contient une boule non dégénérée B(u2, r2). Par récurrence, on consruit une suite de boules non dégénéréesB(un, rn)⊂X\ ∪ⁿ_k=1Xk

telle que

rn →0 quandn→ ∞, B(un, rn)⊃B(un+1, rn+1) pour toutn≥1.

Il est facile à vérifier que la suite{un}converge vers un point ûqui n’appartient à aucun ensembleXn. Ceci contredit au fait queXest la réunion deXn,n≥1.

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Exercice 2.6. Montrer que le théorème de Baire est équivalent à la propriété suivante : dans un espace de Banach, l’intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.

Le théorème de Baire reste vrai pour des espaces métriques complets. Une application intéressante de ce résultat à la théorie de fonctions est donnée dans l’exercice suivant.

Exercice 2.7. SoitI = [0,1] et P(x, y) une fonction continue définie sur I×I telle queP(·, y) etP(x,·) sont des polynômes pour toutx, y∈I. Montrer queP est un polynôme.

2.3 Th´ eor` eme de Banach–Steinhaus

SoientX,Y deux espace de Banach. On noteL(X, Y) l’espace d’op´erateurs lin´eaires continus deX dansY.

Exercice 2.8. Montrer que les propri´et´es de l’exercice 1.11 restent vrai pour les espaces de Banach. Montrer aussi queL(X, Y) muni de la normek · kL(X,Y)est un espace de Banach.

Théorème 2.9. SoientX,Y deux espaces de Banach et Aγ :X →Y,γ∈Γ, une famille d’opérateurs continus telle que

kAγukY ≤Cu pour tout γ∈Γ.

Alors il existe une constanteC >0 telle que

kAγkL(X,Y)≤C pour toutγ∈Γ. (2.3) Démonstration. Nous allons utiliser le théorème de Baire. Soit

Xn={u∈X :kAukY ≤nkukX}.

AlorsX =∪nXn. Donc, il existe une boule B(u0, r0)⊂X et un entiern0≥1 tels queXn0 ⊃B(u0, r0) :

kAγukY ≤n0kukX≤C1 pour toutu∈B(u0, r0),γ∈Γ, o`uC1=n0(ku0kX+r0). Ceci implique que

kAγukY ≤C1 pour toutu∈B(0, r0),γ∈Γ.

d’où on obtient l’inégalité (2.3) avec C=C1/r0.

2.4 Th´ eor` eme de Hahn–Banach

Pour un espace de BanachX, on noteX^∗le dual deX, c’est-`a-dire, l’espace des fonctionnelles lin´eaires continuesf :X→Rmuni de la norme

kfkX^∗ := sup

kukX≤1

|f(u)|.

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Le théorème suivant implique, en particulier, que X^∗ n’est pas vide et sépare les points deX. Nous considérons ici le cas réel, mais le résultat reste vrai aussi pour le cas complexe.

Théorème 2.10. SoitX un espace de Banach réel, X0 ⊂ X un sous-espace vectoriel, etf0:X0→Rune fonctionnelle linéaire continue telle que

|f0(u)| ≤CkukX pour toutu∈X0. Alors il existef ∈X^∗ tel que

f

X0 =f0, kfkX^∗ ≤C.

Démonstration. Pour simplifier, nous n’allons considérer que le cas d’un espace séparable, c’est-à-dire, on suppose qu’il existe une suite dense dans X. La dé- monstration dans le cas général est basée sur le lemme de Zorn ; voir [Yos78].

On peut supposer que C = 1. Soit {un} ⊂X une suite de vecteurs unités linéairement indépendants telle que l’espace vectoriel engendré parX0 et{un} est dense dansX. Nous allons construire par récurrence une suite d’extensionsfn

de la fonctionnellef0 `a l’espaceXn:= Vect{X0, u1, . . . , un}. Supposons quefn

est déjà construit. Alors pour u∈Xn etα∈Ron pose fn+1(u+αun+1) =fn(u) +αp, oùp∈R. On veut choisirptel que

|fn(u) +αp| ≤ ku+αun+1k pour toutu∈Xn,α∈R.

Il est facile à voir que cette inégalité est équivalente aux conditions suivantes : p≤ ku+αun+1k −fn(u)

α , p≥fn(u)− ku−αun+1k

α , ∀α >0, ∀u∈Xn. Une telle constante existe si

ku+αun+1k −fn(u)

α ≥fn(v)− kv−βun+1k

β pour tousα, β >0,u, v∈Xn. Cette condition est ´equivalente `a

fn(αv+βu)≤ kαv−αβun+1k+kβu+βαun+1k. (2.4) D’après l’hypothèse de récurrence, l’inégalité (2.4) est vérifiée pour tousα, β >0 et u, v∈Xn.

Il existe donc une fonctionnelle ˜f :∪nXn →Rtelle que f˜

_X

0=f0, |f˜(u)| ≤ kukX pour toutu∈ ∪nXn.

Par continuité, on peut prolonger la fonctionnelle ˜f à l’adhérence de∪nXn, qui co¨ıncide avecX.

Corollaire 2.11. Pour tout u, v ∈ X il existe une fonctionnelle f ∈X^∗ telle quef(u) = 0etf(v) = 1.

Exercice 2.12. Enoncer et démontrer le théorème de Hahn–Banach dans le cas complexe.Indication :voir§IV.4 dans [Yos78].

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2.5 Th´ eor` eme de Banach de l’application inverse

Th´eor`eme 2.13. SoientX1, X2deux espaces de Banach etA∈ L(X1, X2)une bijection. Alors A⁻¹∈ L(X2, X1).

Ce théorème implique immédiatement les deux corollaires suivants : Corollaire 2.14. SoitX un espace de vectoriel muni des normesk · k1 etk · k2. SupposonsX est complet par rapport à ces normes et que

kuk1≤Ckuk2 pour toutu∈X.

Alors il existe une constanteC^′>0 telle que

kuk2≤C^′kuk1 pour toutu∈X.

Corollaire 2.15. SoitA:X1→X2 une application lin´eaire et Γ(A) ={(u1, u2)∈X1×X2:u2=Au1}

le graphe deA. AlorsA∈ L(X1, X2)si et seulement siΓ(A)est un sous-espace ferm´e du produit direct X1×X2.

Démonstration du théorème 2.13. On note B ⊂ X1 la boule unité de centre zéro et Yρ =A(ρB) =ρA(B). Alors ∪n≥1Yn =X2, et d’après le théorème de Baire, il existe un entier m ≥ 1 et une boule B(u, r) ⊂ X2 telle que Ym soit dense dansB(u, r). CommeYmest symétrique par rapport à zéro et convexe, on conclut queYmest dense dansB(0, r) et queY1 est dense dans la bouleB(0, ε) avecε=r/m. Si on arrive à montrer queY1⊂Y2, alors on aura queY2⊃B(0, ε), et donc

kA⁻¹vk1≤2 pourv∈X2,kvk=ε.

Ceci implique que la norme deA⁻¹est major´ee par 2/ε.

Montrons maintenant queY1 ⊂Y2. Soit v ∈ Y1. Alors il existe u1 ∈B tel quev−Au∈B(0, ε/2). De mˆeme, commeB(0, ε/2)⊂Y1/2, il existeu2∈ ¹₂B tel quev−A(u1+u2)∈B(0, ε/4). On construit ainsi une suiteuj ∈2^1−jBtelle que

u−

n

X

j=1

Auj∈B(0,2⁻ⁿε) pour toutn≥1.

On pose maintenant u=P

juj. Alorsu∈2B et Au=v.