Examen mai 2009

ENS Lyon Analyse Complexe

L3 2008-2009

Examen mai 2009

Dur´ee : 3h. Documents et calculatrices interdits. Toute r´eponse doit ˆetre soigneu- sement justifi´ee. Les r´esultats du cours peuvent ˆetre utilis´es sans d´emonstration, `a condition qu’ils soient ´enonc´es pr´ecis´ement.

I. Soit U ⊂C un ouvert connexe.

1. Soit f une fonction holomorphe sur U, telle que f(z) ∈ R pour tout z ∈ U.

Montrer quef est constante.

2. Soit f, g holomorphes sur U. On suppose que g est non identiquement nulle, et que fg¯est `a valeurs r´eelles. Montrer qu’il existe λ∈C tel que f =λg.

II. Dans cet exercice on note D={z ∈C:|z|<1}le disque unit´e.

1. Soit α∈]0, π[, et notons Ω ={re^iθ :r > 0,|θ| < α}. Expliciter un biholomor- phisme de Ω surD. Ce biholomorphisme est-il unique ?

2. Montrer que D n’est pas biholomorphe `a C. 3. Existe-t-il une surjection holomorphe D→C?

III. Rappeler l’´enonc´e du th´eor`eme de Rouch´e. Soit c ∈ C tel que Re(c) > 1.

Montrer que l’´equation e^−z+z−c= 0 n’a qu’une seule solution dans le demi-plan {z∈C: Re(z)>0}.

IV. Utiliser des techniques d’analyse complexe pour calculer Z ^∞

0

e^−πx sinax sinhπx dx, o`ua est un param`etre r´eel.

On consid´erera la fonction f(z) = e^iaz

e^2πz−1 et le contour indiqu´e ci-dessous (ob- tenu `a partir du rectangle de sommets 0, R, R+i et i en rognant de petits quarts de disques de rayon r centr´es en 0 et i).

R R+i

r

i

r

0

V. Soit U = D(a, r)\ {a} et f : U → C une fonction holomorphe. Le but de ce probl`eme est de montrer que si

Z

U

|f(x+iy)|²dxdy <∞ alors f s’´etend en une fonction holomorphe sur D(a, r).

1

1. Montrer que si F est une fonction holomorphe sur D(b, ǫ), alors

|F(b)|² ≤ 1 πε²

Z

D(b,ε)

|F(x+iy)|²dxdy

2. Utiliser le r´esultat pr´ec´edent pour montrer qu’une fonction f comme dans l’´enonc´e du probl`eme ne peut pas avoir de singularit´e essentielle.

3. Conclure, en montrant que si f a un pˆole, alors Z

U

|f(x+iy)|²dxdy = +∞.

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