Algèbre (DS de l’année 2019-2020)
Énoncés avant le chapitre réduction Exercice 1 : (inspiré de EDHEC 2016)
On désigne paridl’endomorphisme identité de R3 et par I la matrice identité de M3(R).
On note B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et on considère l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dans la baseB est :A=
−5 2 −2
−2 0 −1
6 −3 2
. 1. a) Calculer(A+I)2.
b) En déduire queA est inversible et déterminer A−1. 2. On note F ={X ∈M3,1(R) |AX =−X}.
a) Résoudre l’équationAX =−X d’inconnue X∈M3,1(R).
b) En déduire queF est un sous-espace vectoriel de M3,1(R) et déterminer une base de F.
3. On note P =
1 0 1
0 1 −1
−2 1 −2
.
a) Démontrer queP est inversible et déterminer son inverse.
b) Montrer queP−1AP =T où T est la matrice triangulaire supérieureT =
−1 0 −2
0 −1 −1
0 0 −1
. c) Démontrer :∀n∈N,P−1AnP =Tn.
4. a) Exhiber une matriceN ∈M3(R)telle que T s’écritT =−I+N. b) CalculerN2 et en déduire Nk pour toutk∈N.
c) Soitn∈N. DéterminerTn à l’aide de la formule du binôme de Newton.
Le résultat devra faire apparaîtreTn comme combinaison linéaire deI et de N. d) Soitn∈N. Exprimer enfinTn comme combinaison linéaire de I et deT. 5. a) Expliquer pourquoi l’on a : ∀n∈N, An= (−1)n+1 (n−1)I+n A
. b) Vérifier que la formule trouvée à la question5.a) reste valable pourn=−1.
1
Exercice 2 : (ECRICOME 2008)
À tout couple (a, b) de deux réels, on associe la matriceM(a, b) définie par : M(a, b) =
a+ 2b −b −2b 2b a−b −4b
−b b a+ 3b
On désigne parE l’ensemble des matricesM(a, b) où aetbdécriventR. Ainsi :E ={M(a, b) |(a, b)∈R2}.
On noteI la matrice identitéM(1,0)etAla matrice suivante : A=
2 −1 −2 2 −1 −4
−1 1 3
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel M3(R).
2. Donner la dimension de E.
3. a) Montrer que l’ensembleF ={X ∈M3,1(R) |AX=X} est un espace vectoriel.
b) Montrer que la matriceA−I n’est pas inversible. En déduire queF est de dimension supérieure ou égale à1.
c) Déterminer l’ensembleF, puis donner une base B1 de F. 4. On considère l’ensembleG={X ∈M3,1(R) |AX= 2X}.
On admet queG est un espace vectoriel.
a) Déterminer une baseB2 deG.
b) Montrer queF ∩G={
0 0 0
}.
c) Montrer que la famille B obtenue en réunissant les vecteurs de la base B1 de F et de la base B2 de Gforme une base deM3,1(R).
d) Déterminer les coordonnées du vecteur
1 1 0
, puis celles du vecteur
1 1 1
, dans la baseB.
5. On considère la matrice P définie par P =
1 1 2 2 1 0
−1 0 1
.
a) Montrer queP est inversible et calculer sa matrice inverse P−1. b) Calculer la matriceD=P−1AP.
6. Soit (a, b)∈R2.
a) Prouver que la matriceD(a, b) =P−1M(a, b)P est une matrice diagonale.
b) Montrer queM(a, b) est inversible si et seulement si D(a, b) est inversible.
En déduire une condition nécessaire et suffisante portant suraetbpour que M(a, b) soit inver- sible.
c) Prouver que M(a, b)2
=I si et seulement si D(a, b)2
=I.
En déduire l’existence de quatre matricesM(a, b) que l’on déterminera, vérifiant : M(a, b)2
=I
Exercice 3 : adapté d’un exercice de TD
Partie I
On noteE =R2[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à2.
Soitf l’application définie sur E qui associe à tout polynômeP ∈E, le polynôme f(P) défini par : f(P)
(X) = (1−X−X2)P0(X) +1
2(−1−X+ 3X2+ 2X3)P00(X) Dans la suite, on note B= (P0, P1, P2) la base canonique deR2[X].
1. Montrer que f est un endomorphisme deE.
2. Déterminer la matrice A représentative def dans la base canonique deE.
3. Montrer : f◦f = 0L(E).
4. Démontrer que f n’est pas bijectif.
5. a) Déterminer des bases deKer(f) etIm(f)ainsi que les dimensions de ces espaces vectoriels.
b) Démontrer que la familleF = f(P1), P0
est une base deKer(f).
6. a) Montrer que la familleG= P1, f(P1), P0
est une base deE.
b) Déterminer la matriceT représentative de f dans la base P1, f(P1), P0
. Partie II
On note désormais E un espace vectorielquelconque de dimension3.
On considère dans la suite f un endomorphisme de E différent de l’endomorphisme nul de E.
7. Montrer : f◦f = 0L(E) ⇔ Im(f)⊂Ker(f).
On suppose dans les questions8. et9.:f ◦f = 0L(E). 8. a) Comparer les dimensions deKer(f)etIm(f).
b) Déterminer alors précisément les dimensions de ces deux espaces vectoriels.
9. Soient u /∈Ker(f)etv∈Ker(f)\Im(f).
a) Montrer que la familleF = (f(u), v) est une base deKer(f).
b) Montrer que la familleG= (u, f(u), v) est une base deE.
c) Déterminer la matriceT représentative de f dans la base(u, f(u), v).
Réduction
Exercice 1 : (EDHEC 2019)
On considère les matrices A=
0 1 1
−2 3 2 1 −1 0
etI =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
On notef l’endomorphisme deR3 dont A est la matrice relativement à la base canonique B= (e1, e2, e3) de R3 etidl’endomorphisme identité de R3 dont la matrice est I.
1. a) Déterminer(A−I)2.
b) En déduire queA est inversible et écrire A−1 comme combinaison linéaire de I et deA.
2. On pose A=N +I.
a) Exprimer pour tout entier natureln, la matrice An comme combinaison linéaire de I et de N puis l’écrire comme combinaison linéaire deI etA.
b) Vérifier que l’expression précédente est aussi valable pourn=−1.
3. a) Utiliser la première question pour déterminer la seule valeur propre deA.
b) En déduire siA est ou n’est pas diagonalisable.
4. On pose u1= (f−id)(e1)etu2=e1+e3. a) Montrer que le rang def−idest égal à1.
b) Justifier que(u1, u2) est une base deKer(f−id).
5. a) Montrer que la famille(u1, u2, e1)est une base de R3. b) Déterminer la matriceT de f dans cette même base.
6. Soit la matrice P =
−1 1 1
−2 0 0 1 1 0
. Justifier l’inversibilité deP puis écrire la relation existant entre les matrices A,T,P etP−1.
7. On note (E1,1, E1,2, E1,3, E2,1, E2,2, E2,3, E3,1, E3,2, E3,3) la base canonique de M3(R) et on rap- pelle que pour tout (i, j) ∈ J1,3K
2, la matrice Ei,j n’a que des coefficients nuls sauf celui situé à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne qui vaut1.
a) Montrer que l’ensemble E des matrices M qui commutent avec T, c’est-à-dire des matrices vérifiant l’égalité M T = T M, est le sous-espace vectoriel de M3(R) engendré par la famille (E1,1+E3,3, E1,2, E1,3, E2,2, E2,3). Vérifier que la dimension deE est égale à 5.
b) SoitN une matrice quelconque de M3(R). Établir l’équivalence : N A=AN ⇔ P−1N P
T = T P−1N P
c) En déduire que l’ensembleF des matrices qui commutent avecAest le sous-espace vectoriel de M3(R)engendré par la famille P(E1,1+E3,3)P−1, P E1,2P−1, P E1,3P−1, P E2,2P−1, P E2,3P−1
.
Exercice 2 : (EML 2014)
On considère l’espace M2(R) des matrices d’ordre 2 à coefficients réels. On définit : A=
1 0 0 0
, B= 0 1
0 0
, C = 0 0
0 1
, T = 1 1
0 1
E =
a b 0 c
,(a, b, c)∈R3
1. Montrer que E est un espace vectoriel et que(A, B, C) est une base deE.
2. Établir que E est stable par multiplication, c’est à dire :
∀(M, N)∈ E2, M N ∈ E
3. Montrer que, pour toute matrice M de E, siM est inversible alors M−1 ∈ E.
Pour toute matrice de E, on notef(M) =T M T. 4. Montrer que f est un endomorphisme deE.
5. Vérifier que T est inversible et démontrer que f est un automorphisme de E.
6. Est-ce que T est diagonalisable ?
On noteF la matrice def dans la base (A, B, C) deE.
7. Calculer f(A), f(B), f(C)en fonction de (A, B, C) et en déduireF.
8. Montrer que f admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci, puis déterminer une base et la dimension du sous-espace propre pour f associé à cette valeur propre.
9. Est-ce que f est diagonalisable ?
10. Soit λun réel différent de 1. Résoudre l’équationf(M) =λM, d’inconnue M ∈ E. On noteI =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
etH=
0 0 0 1 0 1 0 0 0
.
11. Calculer H2, puis pour toutadeR et toutnde N,(I+aH)n. 12. Calculer, pour tout nde N,Fn.
13. Trouver une matrice Gde M3(R) telle queG3 =F. Existe-t-il un endomorphismeg de E tel que g◦g◦g=f?
Exercice 3 : (EDHEC 2004)
On noteE l’espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à 2.
On notee0, e1, e2 les fonctions définies, pour tout réel x par :
e0(x) = 1, e1(x) =x et e2(x) =x2 et on rappelle que B= (e0, e1, e2) est une base deE.
Soit f l’application qui à toute fonction polynomialeP de E associe la fonction Q=f(P), oùQ est la dérivée seconde de l’application qui à tout réelx associe(x2−x)P(x).
1. a) Montrer quef est un endomorphisme de E.
b) Déterminerf(e0),f(e1) etf(e2) en fonction dee0,e1 ete2. c) En déduire que la matrice def dans la baseB est A=
2 −2 0
0 6 −6
0 0 12
. d) Montrer sans calcul quef est un automorphisme deE.
2. a) Donner les valeurs propres def, puis en déduire quef est diagonalisable.
b) Déterminer les sous-espaces propres def.
3. a) Justifier l’existence d’une matriceP inversible dont la première ligne ne contient que des « 1 » telle queA=P DP−1, oùD=
2 0 0 0 6 0 0 0 12
. b) Montrer :∀n∈N,An=P DnP−1.
4. a) Déterminer la matriceP−1.
b) En déduire explicitement, en fonction den, la matrice An.
c) On dit qu’une suite de matrices(Mn)tend vers la matriceM, lorsquentend vers+∞, si chaque coefficient deMn tend vers le coefficient situé à la même place dansM.
On poseB = 1
12 A. Montrer que la suite (Bn)tend vers une matrice J vérifiantJ2 =J.
Exercice 4 : (EML 2018)
On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deR3.
On considère l’endomorphisme f deR3 dont la matrice dans la baseB est la matrice Adonnée par : A=
0 −2 −5
−2 0 4
1 1 0
On considère également l’endomorphisme g deR3 défini par :
∀(x, y, z)∈R3, g(x, y, z) = (x+y−z, 2y, −x+y+z) Enfin, on pose :
u=e1−e2 = (1,−1,0) et v=f(e1) +e1
1. a) Calculerv.
b) Montrer que la familleC= (u, v, e1) est une base deR3. c) On noteP la matrice de passage de la base B à la baseC.
Expliciter la matriceP et calculer P−1. 2. a) Déterminer la matriceA0 de f dans la baseC.
b) En déduire les valeurs propres def. L’endomorphismef est-il diagonalisable ? c) L’endomorphismef est-il bijectif ?
d) Expliciter, sans justification, le lien entre les matricesA,A0,P etP−1. 3. a) Déterminer la matriceB deg dans la base B.
b) Montrer :B2 = 2B.
c) En déduire les valeurs propres deg, ainsi qu’une base de chaque sous-espace propre.
d) L’endomorphismeg est-il diagonalisable ? On pose : E ={M ∈M3(R) |BM =M A}.
4. a) Montrer queE est un espace vectoriel.
b) SoitM une matrice appartenant à E.
Montrer queM n’est pas inversible. (On pourra raisonner par l’absurde).
5. On cherche à montrer que E n’est pas réduit à l’ensemble{0}.
a) Justifier que, pour tout réelλ, les matricesA−λ I3 et(tA)−λ I3 ont même rang, la matrice I3
désignant la matrice identité deM3(R).
b) En déduire que la matricesB ettA admettent une valeur propre en commun, notéeα.
c) Soient X un vecteur propre de B associé à la valeur propre α, et Y un vecteur propre de tA associé à la valeur propreα. On note : N =XtY.
Montrer que la matriceN est non nulle et que N appartient à E.
d) En déduire :dim(E)>2.
Exercice 5 : (EDHEC S 2017)
Dans ce problème, n est un entier naturel non nul et Rn[X] est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
On noteB= (e0, e1, ..., en)la base canonique deRn[X]. On rappelle quee0(X) = 1et que∀k∈J1, nK, ek(X) =Xk.
Partie 1 : étude d’une application définie sur Rn[X].
On considère l’applicationϕqui à tout polynômeP deRn[X]associeϕ(P) = Pn
k=0
P(k), oùP(k)désigne la dérivée d’ordrek deP, avec la conventionP(0) =P.
1. Montrer que ϕest un endomorphisme deRn[X].
2. a) Calculerϕ(e0)et en déduire une valeur propre de ϕ.
b) Montrer :∀j∈J1, nK, ϕ(ej)−ej ∈Rj−1[X].
c) En déduire que la matrice deϕdans la baseB est triangulaire et que la seule valeur propre de ϕest celle trouvée à la question précédente.
d) Montrer queϕest un automorphisme de Rn[X].
3. a) Pour tout polynômeP deRn[X], calculerϕ(P −P0).
b) Déterminerϕ−1, puis écrire la matrice deϕ−1 dans la base B. c) On donne le scriptScilabsuivant :
1 n = input(' Entrer la valeur de n : ')
2 M = eye(n+1, n+1)
3 for k = 1:n
4 M(k, k+1) = -k
5 end
6 A = - - - -
7 disp(A)
Compléter la sixième ligne de ce script pour qu’il affiche la matrice A de ϕ dans la base B lorsque la valeur den est entrée par l’utilisateur.
Partie 2 : étude d’une autre application définie sur Rn[X].
On désigne parx un réel quelconque.
4. a) Montrer que, pour tout entier naturelk, l’intégrale Z +∞
x
tke−t dtest convergente.
b) En déduire que, siP est un polynôme de Rn[X], alors l’intégrale Z +∞
x
P(t)e−t dt est conver- gente.
5. a) Donner la valeur de l’intégrale Z +∞
x
e−t dt.
b) Établir que pour tout entier naturelk, on a : Z +∞
x
tke−t dt = k!
k
P
i=0
xi i! e−x. 6. Informatique.
a) On admet que siuest un vecteur, la commandeScilabprod(u)renvoie le produit des éléments deu et la commandecumprod(u)renvoie un vecteur de même format queu dont la coordonnée numérokest le produit desk premiers éléments deu.
Utiliser l’égalité obtenue à la question 5.b) pour compléter le script Scilab suivant afin qu’il calcule et qu’il affiche la variablescontenant la valeur de l’intégrale
Z +∞
x
tke−t dt, les valeurs dex et de k étant entrées par l’utilisateur.
1 k = input('Entrer la valeur de k : ')
2 x = input('Entrer la valeur de x : ')
3 p = prod(1:k)
4 u = - - - ./ - - - -
5 s = p ? - - - ? exp(-x)
6 disp(s) b) Seulement pour les cubes:
Montrer, grâce à un changement de variable simple : Z +∞
x
tke−tdt = e−x Z +∞
0
(u+x)ke−udu.
En déduire la commande manquante du scriptScilabsuivant afin qu’il permette de calculer et d’afficher une valeur approchée de
Z +∞
x
tke−tdt grâce à la méthode de Monte Carlo.
1 k = input('Entrer la valeur de k : ')
2 x = input('Entrer la valeur de x : ')
3 Z = grand(1, 100000, 'exp', 1)
4 s = exp(-x) ? mean( - - - )
5 disp(s)
On considère maintenant l’application qui, à tout polynôme P de Rn[X], associe la fonction F = Ψ(P) définie par :
∀x∈R, F(x) =ex Z +∞
x
P(t)e−t dt 7. a) Montrer queΨest un endomorphisme de Rn[X].
b) Justifier queF est de classeC1 sur Ret donner une relation entre F ,F0 etP. c) Montrer queΨest un automorphisme de Rn[X].
8. On considère un polynôme P non nul, vecteur propre de Ψpour une valeur propreλnon nulle.
a) Utiliser la relation obtenue à la question7.b) pour établir : P0 = λ−1 λ P.
b) En déduire, en considérant les degrés, queλ= 1 est la seule valeur propre possible deΨ.
c) Montrer enfin queλ= 1est bien la seule valeur propre deΨ. (On ne demande pas le sous-espace propre associé).
9. a) Montrer que les endomorphismesϕetΨsont égaux.
b) En déduire que, siP est un polynôme de Rn[X]et s’il existe un réelatel que pour tout réel x supérieur ou égal àa, on aP(x)>0, alors :
∀x>a, Pn
i=0
P(i)(x)>0
Exercice 6 : (HEC 2002)
Le but de cet exercice est la résolution de l’équation matricielle AM = M B, d’inconnue M, dans l’espace vectoriel E des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels.
On rappelle que si U1,U2,U3,U4 sont les matrices définies par : U1 =
1 0 0 0
U2 = 0 1
0 0
U3 = 0 0
1 0
U4 = 0 0
0 1
la famille(U1, U2, U3, U4)est une base deE, qui est donc de dimension 4.
Si A et B sont deux matrices de E, l’ensemble des matrices M de E vérifiant AM = M B est noté VA,B.
1. Soit A et B deux matrices de E et ϕA,B l’application qui, à toute matrice M de E, associe la matrice AM −M B.
a) Montrer queϕA,Best un endomorphisme deEet en déduire queVA,Best un sous-espace vectoriel deE.
b) Dans le cas particulier oùA=
1 −1
−1 1
etB =
−1 0
2 1
, construire la matrice carrée d’ordre 4qui représenteϕA,B dans la base (U1, U2, U3, U4).
Montrer que cette matrice est inversible et en déduire l’ensembleVA,B.
2. Dans cette question, r etsdésignent deux réels distincts et différents de1, et on pose : D =
1 0 0 r
et ∆ = 1 0
0 s
a) SoitM = x y
z t
une matrice quelconque deE. Donner des conditions nécessaires et suffisantes surx,y,z,tpour que M appartienne àVD,∆.
b) En déduire une base deVD,∆.
3. Soit a,b, c,ddes réels non nuls vérifiant a−b6=c−d,a−b6= 1, c−d6= 1, A etB les matrices définies par :
A=
a 1−a b 1−b
, B =
c 1−c d 1−d
a) Montrer que les valeurs propres deAsont1eta−b. En déduire qu’il existe une matrice inversible P deE, et une matrice Dégale à celle de la question2.pour une valeur convenable der, telles que l’on ait :D=P−1AP.
b) Justifier de même l’existence d’une matrice inversibleQde E, et d’une matrice ∆égale à celle de la question2. pour une valeur convenable des, telles que l’on ait : ∆ = Q−1B Q.
c) Pour toute matrice M de E, montrer qu’elle appartient à VA,B si et seulement si la matrice P−1M Qappartient à VD,∆. En déduire une base deVA,B.
4. Dans cette question r,s et u, v désignent quatre réels vérifiant r 6=s,r 6= v, u 6=s, u 6=v, et on pose :
D = u 0
0 r
et ∆ = v 0
0 s
a) Par une méthode analogue à celle de la question2., déterminer VD,∆.
b) En déduire, par une méthode analogue à celle de la question 3., le sous-espace vectoriel VA,B
dans le cas oùAetBsont deux matrices diagonalisables n’ayant aucune valeur propre commune.
Exercices plus théoriques Exercice 1 : (HEC 2019)
1. Dans cette question, on considère les matrices C =
0 1 2
∈M3,1(R),L= 1 2 −1
∈M3,1(R) et le produit matriciel M =CL.
a) (i) CalculerM etM2. (ii) Déterminer le rang deM.
(iii) La matriceM est-elle diagonalisable ? b) SoitP =
0 1 0
1 0 0
0 −2 1
. Justifier que la matrice P est inversible et calculer le produitP
0 1 2
.
c) Trouver une matrice inversibleQdont la transposée tQvérifie : tQ
1 2
−1
=
1 0 0
. d) Pour une telle matriceQ, calculer le produitP M Q.
2. La fonctionScilabsuivante permet de multiplier laièmeligne Li d’une matriceApar une réel sans modifier ses autres lignes, c’est-à-dire de lui appliquer l’opération élémentaireLi←a Li(oùa6= 0).
1 function B = multilig(a, i, A)
2 [n, p] = size(A)
3 B = A
4 for j = 1:p
5 B(i, j) = a ? B(i,j)
6 end
7 endfunction
a) Donner le codeScilabde deux fonctionsadlig(d’argumentsb,i,j,A) etechlig(d’arguments i,j,A) permettant d’effectuer respectivement les autres opérations sur les lignes d’une matrice :
Li←Li+b Lj (i6=j) et Li ↔Lj (i6=j)
b) Expliquer pourquoi la fonctionmultligmatsuivante retourne le même résultatBque la fonction multlig.
1 function B = multiligmat(a, i, A)
2 [n, p] = size(A)
3 D = eye(n, n)
4 D(i, i) = a
5 B = D ? A
6 endfunction
3. Dans cette question, on notenun entier supérieur ou égal à2etM une matrice deMn(R)de rang 1. Pour tout couple(i, j)∈J1, nK
2, on noteEi,j la matrice deMn(R)dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l’intersection de sa ième ligne et de sajème colonne, et qui vaut1.
a) (i) Justifier l’existence d’une matrice colonne non nulleC =
c1
... cn
∈Mn,1(R) et d’une matrice ligne non nulleL1= l1 . . . ln
∈M1,n(R) telles queM =CL.
(ii) Calculer la matriceM C et en déduire une valeur propre de M. (iii) Montrer que si le réel
n
P
i=1
cili est différent de 0, alors la matrice M est diagonalisable.
b) (i) À l’aide de l’égalité M =C L, établir l’existence de deux matrices inversibles P et Q telles queP M Q=E1,1.
(ii) En déduire que pour tout couple(i, j) ∈J1, nK
2, il existe deux matrices inversibles Pi etQj telles quePiM Qj =Ei,j.
Exercice 2 : (HEC 2013)
On noteE =R3[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3.
Soitf l’application définie sur E qui associe à tout polynômeP ∈E, le polynôme f(P) défini par : f(P)
(X) =−3X P(X) +X2P0(X), oùP0 est la dérivée du polynômeP 1. a) Rappeler la dimension deE.
b) Montrer quef est un endomorphisme de E.
c) Déterminer la matriceM de f dans 1a base canonique deE.
d) La matriceM est-elle inversible ?
Seulement pour les cubes: Est-elle diagonalisable ? Calculer pour toutn∈N∗,Mn. e) Préciser le noyauKer(f)de f ainsi qu’une base de Ker(f).
f ) Déterminer l’imageIm(f) def.
2. On note idE et 0LLE respectivement, l’endomorphisme identité et l’endomorphisme nul de E, et pour tout endomorphisme v deE, on pose v0 = idE et pour tout kde N∗,vk=v◦vk−1.
Soit u etgdeux endomorphismes de E tels que :u4= 0E,u36= 0E etg= idE+u+u2+u3. a) SoitP un polynôme de E tel que P /∈Ker u3
. Montrer que la famille P, u(P), u2(P), u3(P)
est une base deE.
b) Montrer que g est un automorphisme de E. Déterminer l’automorphisme réciproque g−1 en fonction deu.
c) Établir l’égalité :Ker(u) = Ker (g−idE).
d) Seulement pour les cubes: Montrer que 1 est la seule valeur propre deg.
Exercice 3 : (HEC 2017)
Pour toutn∈N∗, on noteMn(R)l’ensemble des matrices carrés ànlignes etncolonnes à coefficients réels etBnl’ensemble des matrices de Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 0ou à1.
1. Exemple 1. SoitA la matrice deB2 définie par : A= 0 1
1 0
. a) Calculer la matriceA2.
b) Quelles sont les valeurs propres deA? c) La matriceA est-elle diagonalisable ?
2. Exemple 2. SoitB la matrice deB3 définie par : B=
0 1 0 1 0 0 0 0 1
. On considère les instructions et la sortie (ans)Scilabsuivantes :
1 B = [0,1,0;1,0,0;0,0,1]
2 P = [1,1,0;1,-1,0;0,0,1]
3 inv(P) ? B ? P
ans =
1. 0. 0.
0. - 1. 0.
0. 0. 1.
a) Déduire les valeurs propres deB de la séquence Scilabprécédente.
b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres deB.
3. a) Combien existe-t-il de matrices appartenant àBn?
b) Combien existe-t-il de matrices deBndont chaque ligne et chaque colonne comporte exactement un coefficient égal à1?
4. Dans cette question, nest un entier supérieur ou égal à2.
Soit E un espace vectoriel de dimensionnetu un endomorphisme de E. On note :
− idl’endomorphisme identité de E;
− F le noyau de l’endomorphisme(u+ id) etGle noyau de l’endomorphisme(u−id);
− p la dimension de F etq la dimension de G.
On suppose que u◦u= id.
a) Justifier que l’image de(u−id)est incluse dans F. b) En déduire l’inégalité :p+q >n.
On suppose désormais que16p < q.
Soit(f1, f2, . . . , fp) une base de F et(g1, g2, . . . , gq)une base de G.
c) Justifier que(f1, f2, . . . , fp, g1, g2, . . . , gq) est une base deE.
d) Calculeru(g1−f1) etu(g1+f1).
e) Trouver une base deE dans laquelle la matrice de uappartient à Bn.
Exercice 4 : (ESSEC I 2010)
Dans tout ce problème, on note n un entier supérieur ou égal à 2 et Mn(R) l’ensemble des matrices carrées possédant nlignes etncolonnes dont les coefficients sont réels.
On noteInla matrice identité de Mn(R).
On noteDnl’ensemble des matricesM = (mi,j)16i,j6ndeMn(R)qui vérifient les propriétés suivantes : (∆1) les coefficients diagonauxm1,1, ..., mn,n de la matrice M sont des valeurs propres deM; (∆2) la matrice M n’a pas d’autres valeurs propres que les nombresm1,1, ...,mn,n.
Partie I. Généralités et exemples
1. Montrer que toutes les matrices triangulaires supérieures et toutes les matrices triangulaires infé- rieures de Mn(R) appartiennent àDn.
2. SiM est une matrice deDn, établir que pour toutαréel, la matriceM+αInest encore un élément de Dn.
3. On note Knla matrice de Mn(R) dont tous les coefficients valent 1.
a) Montrer que la matriceKn n’appartient pas àDn. b) L’ensembleDn est-il un sous espace-vectoriel deMn(R)? 4. a) Soit(x, y, z) un élément de R3. Montrer que la matrice
0 x y z
est inversible si et seulement si les nombresx ety sont non nuls.
b) En déduire que l’ensembleD2 ne contient pas d’autre élément que les matrices triangulaires de M2(R).
5. Montrer que la matrice A=
3 1 1 0 2 −1 1 1 4
appartient à D3. Cette matrice est-elle diagonalisable ?
6. Pour tout t réel, on considère la matriceM(t) =
3 1 1 +t 0 2 −1−t 1 1 4 + 2t
.
a) Déterminer l’ensemble des valeurs propres de la matriceM(t) selon la valeur de t.
En déduire les valeurs detpour lesquelles la matrice M(t) appartient àD3. b) Déterminer les valeurs det pour lesquelles la matriceM(t) est diagonalisable.
Partie II. Matrices nilpotentes
Une matriceM deM3(R)estnilpotentesi, et seulement si, il existe un entier naturelpnon nul tel que la matrice Mp soit la matrice nulle.
7. Soit M une matrice nilpotente deM3(R).
Montrer que 0 est une valeur propre deM et que c’est la seule valeur propre deM.
8. SoitM une matrice nilpotente deM3(R). On va prouver par l’absurde queM3 est la matrice nulle.
Pour cela, on suppose que M3 n’est pas la matrice nulle.
Notons B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 et u l’endomorphisme de l’espace vectoriel R3 représenté par la matrice M dans la baseB.
a) Montrer les inclusionsker(u)⊂ker(u2) etker(u2)⊂ker(u3).
b) Montrer que les noyaux ker(u2) etker(u3) ne peuvent pas être égaux. Pour cela, montrer que dans le cas contraire, le noyau deu2 est égal à celui deui pour tout entierisupérieur ou égal à 2, et en tirer une contradiction.
c) Montrer que les noyauxker(u) etker(u2) ne peuvent pas être égaux non plus.
d) Conclure en considérant la dimension des noyaux mentionnés ci-dessus.
9. Soit (a, b, c, d, e, f) un élément de R6. On considère la matrice M =
0 a b
c 0 d
e f 0
de M3(R). On définit les réels γ(M) =ac+df+beetδ(M) =bcf+ade.
a) Établir l’égalitéM3 =γ(M)M+δ(M)I3.
b) Montrer que la matriceM est nilpotente si et seulement si γ(M) etδ(M)sont nuls.
c) On suppose quea,betdsont égaux à1.
Justifier qu’il existe une infinité de choix pour le triplet(c, e, f) de R3 pour lesquels la matrice M est nilpotente.
d) En déduire que l’ensemble D3 contient une infinité de matrices nilpotentes qui ne sont pas triangulaires.
e) Exhiber une matrice deD3 dont tous les coefficients sont non nuls.
