() DEVOIR A LA MAISON N°9. TS3.

DEVOIR A LA MAISON N°9. TS3.

Pour le mercredi 10 décembre 2014 I. Pour le bac

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10

. Dans un pays, 0,02 % de la population est contaminée par un virus.

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

 si une personne est contaminée, la probabilité que le test soit positif est 0,99 (sensibilité du test) ;

 si une personne n est pas contaminée, la probabilité que le test soit négatif est de 0,995 (spécificité du

test).

1. Ce test vous semble-t-il efficace ?

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note V l'événement : « la personne est contaminée par le virus », et T l'événement : « le test est positif ».

2. Donner P (V ) ; P

( T) et P

( ) ^{T .}

3. Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.

4. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait un test positif.

5. Déterminer la probabilité qu'une personne soit contaminée par le virus sachant que son test est positif.

6. Pensez-vous que le test doive être commercialisé ? II. Pour le bac

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. On considère le point A d affixe 1, le point B d affixe 1 i et le point C d affixe 2i. On appelle f la fonction qui à tout point M d affixe z associe le point M f( M) d affixe z (2 i )z z .

1. Déterminer l affixe de A f (A) et l affixe de B f (B ).

2. On pose z x i y avec x et y des réels.

a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de z . b. En déduire l ensemble ( E ) des points M du plan tels que z soit imaginaire pur.

III. Pour chercher.

Un jeu consiste à lancer 4 dés à 4 faces. Pour gagner, il faut obtenir 4 chiffres distincts. On gagne alors 10

fois sa mise. Le jeu est-t-il favorable au joueur ?

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°9. TS3

I. Pour le bac 1.

2. D après l énoncé : P (V ) 0,02

100 ; P

(T) 0,99 et P

V

( ) ^{T 0,995}

3. ^0,99 T

V

0,02/100 ^0,01 T

0,005 T

99,98/100 V

^0,995 T

4. P( T) 0,02

100 0,99 99,98

100 0,05 = 5,197 10

. La probabilité que la personne choisie ait un test positif est 5,197 10

.

5. P

P( T V ) P( T)

0,02 100

0,99

5,197 10

0,038. Lorsque le test est positif, la probabilité que la personne soit contaminée est environ 0,038, soit 3,8%.

6. Le test ne sera pas commercialisé car il crée beaucoup de faux positifs. Cela est dû au très petit nombre de personnes contaminées dans la population.

II. Pour le bac

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. On considère le point A d affixe 1, le point B d affixe 1 i et le point C d affixe 2i. On appelle f la fonction qui à tout point M d affixe z associe le point M f( M) d affixe z (2 i )z z .

1. (2 i )1 1 2 i 1 3 i. L affixe de A est 3 i.

(2 i )(1 i) 1 i 2 i 2i −1 1− i 2 2i . L affixe de B est 2 2 i.

2. On pose z x i y avec x et y des réeli.s.

a. z (2 i )(x i y) x i y 2x i x 2 i y y x i y (3 x y) i (x y ).

La partie réelle de z est Re ( z ) 3x y.

La partie imaginaire de z est Im (z ) x y.

b. M ϵ ( E ) ssi z est imaginaire pur ssi Re (z ) 0

ssi 3x y 0

(E ) est la droite d équation 3x y 0 ou y 3x . III. Pour chercher.

Lorsqu on lance les 4 dés, il y a 4

= 256 issues possibles.

Parmi elles, 4 3 2 1 24 permettent au joueur de gagner.

Soit X la variable aléatoire associant au lancer des dés le gain (positif ou négatif) du joueur.

Notons M la mise.

X prend les valeurs M et 10M .

P( X M) 256 24

256

29

32 et P (X 10 M) 24 256

3 32 . Alors E (X ) 29

32 M 3

32 10M M

32 . Le jeu est favorable au joueur.