Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022
MPSI - Mathématiques le 2 décembre
Devoir à la maison n° 9
À rendre le 9 décembre
On note Pf(N) l’ensemble des parties finies de N.
1) a) Montrer que la relation d’inclusion ⊂ est une relation d’ordre sur Pf(N).
b) La relation ⊂ est-elle totale sur Pf(N) ? (N’oubliez pas de justifier votre réponse !) 2) On note A1 ={0; 4}, A2 ={4; 5} etA3 ={0; 2; 4}, ainsi que A ={A1;A2;A3}.
a) Soit X ∈ Pf(N). Écrire de manière quantifiée la proposition «X minore A pour
⊂», ainsi que sa négation.
b) Montrer que A n’admet pas de plus petit élément.
c) Déterminer l’ensemble des minorants de A dans Pf(N).
d) Montrer que A admet une borne inférieure dansPf(N), que l’on précisera.
Indication : on pourra remarquer que cette borne inférieure X est « la plus grande partie finie de N contenue dans A1,A2 etA3 ».
e) Donner, sans démonstration, la borne supérieure de A pour⊂.
3) a) Soit n ∈N∗, A1, . . . , An des parties finies deN, soit A ={A1, . . . , An}.
Remarque : A est donc une partie finie quelconque dePf(N)
Montrer queA possède une borne supérieure dansPf(N) pour⊂, que l’on précisera.
b) Soit I un ensemble, (Ai)i∈I une famille de parties finies de N etA ={Ai |i∈I}.
Remarque : A est donc une partie quelconque dePf(N)
Montrer queA possède une borne inférieure dansPf(N) pour⊂, que l’on précisera.
c) Montrer qu’il existe au moins une partie de Pf(N) n’admettant pas de borne supé- rieure dans Pf(N) pour ⊂.
d) L’ensemble ordonné (Pf(N),⊂) vérifie-t-il la propriété de la borne supérieure ?
— FIN —
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