Lycée Chrestien de Troyes-PC-mathématiques Mr RHARIF Page 1
DM9 PC
Exercice 1
ℝ muni de sa structure d’espace vectoriel euclidien. = {( , , ) ∈ ℝ , − + = 0 }.
On note pF la projection orthogonale sur F
1. Déterminer la dimension de F et en donner une base B1
2. Déterminer une base de B2 de
3. Justifier que B =(B1,B2) est une base de ℝ et former la matrice de pF relativement à la base B 4. Former la matrice de pF relativement à la base canonique de ℝ .
5. On note = (1,2,1) et = (1, −2,1). Calculer ( , ) et ( , ) Exercice 2
Partie I
Soient ∈ ℕ∗, ∈ ℳ (ℝ) et ∈ ℳ, (ℝ) − {0}
On note = ∈ ℳ , (ℝ), = 0
1. Montrer que H est un sous espace vectoriel de ℳ , (ℝ) et préciser sa dimension.
2. Montrer que vecteur propre de si, et seulement si est stable par 3. Montrer que et ont les mêmes valeurs propres.
Partie II
=
3 1 2
1 1 0
−1 1 2
∈ ℳ (ℝ). On note l’endomorphisme de ℝ canoniquement associé à
4. Déterminer les valeurs propres de B.
5. Déterminer les sous-espaces propres.
6. B est-elle diagonalisable ? trigonalisable ?
7. Déterminer les sous-espaces propres de .
8. Déterminer tous les sous espaces vectoriel de ℝ stables par
Exercice 3 : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. E un -espace vectoriel de dimension n.
On suppose que E est muni de deux produits scalaires notés respectivement pour deux vecteurs x et y : ( | ) et ( | ) . On notera aussi ‖ ‖ et ‖ ‖ les normes associées.
On suppose que si deux vecteurs de E sont orthogonaux pour le produit scalaire (. |. ) alors ils sont orthogonaux pour le produit scalaire (. |. ) .
1. Vérifier que si deux vecteurs et ont la même norme pour un produit scalaire alors les vecteurs + et − sont orthogonaux pour ce produit scalaire.
2. En déduire que :
∀( , ) ∈ , (‖ ‖ = ‖ ‖ ) ⇒ ‖ ‖ = ‖ ‖ 3. Montrer qu’il existe ∈ ℝ∗, tel que :
∀( , ) ∈ , ( | ) = ( | )
