DEVOIR A LA MAISON N°13. TS3.
Pour le mercredi 11 mars 2015.
I. On considère la fonction f définie sur [1 [ par f (x ) x ln(x)
x . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1. Construire le tableau de variation de f sur [1 [ en faisant apparaître la limite en + . 2. Soit la droite d équation y x.
a. Déterminer lim
x
f( x) x. Interpréter graphiquement.
b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite .
3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement M
ket N
kles points d’abscisse k de C et .
a. Exprimer en fonction de k, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance M
kN
kentre les points M
ket N
k.
b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k
0supérieur ou égal à 2 tel que la distance M
kN
ksoit inférieur ou égale à 10
2.
c. Programmer cet algorithme et donner k
0. Interpréter graphiquement.
D après bac.
II. Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 1] telle que : f (0) 0 et f (x) 1
1 x² pour tout x de [0 1].
On ne cherchera pas à déterminer f.
1. Déterminer le sens de variation de f sur [0 1].
2. Soit g la fonction définie sur
0 4 par g (x ) f(tan( x)).
a. Construire le tableau de variation de la fonction tan sur
0 4 . b. Justifier que g est dérivable sur
0 4 , puis que, pour tout x de
0 4 , g ( x) 1.
D après bac.
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°13. TS3
I.
1. f est dérivable sur [1 [.
Pour tout x 1, on a f (x ) 1 1
x x ln( x )
x² = x ² 1 ln(x)
x² du signe de x² 1 ln( x) car x² 0.
ln( x) ln(1), c'est-à-dire ln(x ) 0 D autre part, x² 1, c'est-à-dire x² 1 0 Alors, x ² 1 ln(x ) 0, c'est-à-dire f (x ) 0.
f est donc croissante sur [1 [.
lim
x
ln( x)
x 0 donc lim
x
f (x ) De plus, f(1)=1.
2.
a. f (x ) x ln(x )
x donc lim
x
f( x) x lim
x
ln(x )
x 0.
Lorsque x tend vers + , la courbe C et la droite tend vers 0 : l a cou rbe et la droi te se rapp roch ent. On dit qu e est asymp tote à C en +
.b. Soit x 1 : f (x) x ln(x) x . x 1 donc ln(x ) 0 et ln(x)
x 0 : la courbe C est en dessous de la droite su r [1 [.
3.
a. M
k(k f (k)), c'est-à-dire M
k
k k ln( k)
k et N
k( k k ).
M
kN
k² (k k )
2
k
k ln( k )
k
2
=
ln( k)
k
2
et ln( k)
k 0 donc M
kN
kln( k) k . b.
k prend la valeu r 2 D p rend la val eu r ln( k)
k Tant qu e D 10
2k prend la valeur k 1 D prend la valeur ln(k)
k Fin tant que
Afficher k
c. On obtient k
0648. Les points de la courbe C et de la droite d abscisse 648 sont à une distance inférieure ou égale à 10
2.
II.
1. f (x) 0 sur [0 1] donc f strictement croissante sur [0 1].
2.
a. Pour tout x de I, tan( x) sin( x)
cos(x) . Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur I et cos( x) ne s annule pas sur I donc la fonction tan est dérivable sur I.
tan ( x) cos( x)
2sin(x )
2(cos(x))
2= 1
cos( x)
2> 0.
On a donc :
x 0 4
tan(x) 1
0
b. Soit x ϵ
0 4 . Alors 0 tan(x ) 1.
La fonction tangente est dérivable sur
0 4 et la fonction f est dérivable sur [0 1] donc g est dérivable sur [0 1].
pour tout x de
0 4 , g ( x) f (tan( x)) tan ( x) = 1 1 tan( x)
21
cos(x )
2= 1 1 sin( x)
2
