DEVOIR A LA MAISON N°14. TS3.
Pour le mercredi 18 mars 2015.
Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque.
Partie A
Soit f la fonction définie et dérivable sur telle que : f(x) (x 1)ex. 1. Calculer la limite de f en + et en .
2. Dresser le tableau de variation de f sur . Partie B
On définit la fonction gm sur par gm(x) (x 1) me x et on note Cm la courbe de la fonction gm dans un repère (O i j; , ) du plan.
1. Déduire de la partie A, en expliquant, le nombre de points d’intersection de la courbe Cm avec l’axe des abscisses en fonction du réel m.
2. On a représenté ci-dessous les courbes C0, Ce et C−e (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs 0, e et –e). Identifier chacune de ces courbes sur la figure en justifiant.
3. Étudier la position de la courbe Cm par rapport à la droite D d’équation y = x +1 suivant les valeurs du réel m.
D après bac.
C1
C2
C3
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°14. TS3
Partie A
1. lim
x
x 1 et lim
x
ex donc, par produit, lim
x
f(x) . En , on a une FI.
Pour tout x de , f(x) xex ex. lim
x
xex 0 d après le cours et lim
x
ex 0 donc, par produit, lim
x
f(x) 0.
2. f est dérivable sur . f (x) ex (x 1)ex (x 2)ex. On a donc le tableau suivant : x 2 +
x 2 ex
f (x) +
f(x) 0 + e 2
Partie B
1. Soit m un réel. gm(x) 0 (x 1) me x (x 1)ex m f(x) m.
Déterminer le nombre de solutions de l équation gm(x) 0 revient donc à déterminer le nombre de solutions de l équation f(x) m. On utilise le tableau de variation de f.
Si m e 2 : le minimum de f sur est e 2 > m donc l équation f(x) m n a pas de solution.
Si m e 2 : l équation f(x) m a pour unique solution 2.
Si m ϵ ] e 20[ :
f est continue et strictement décroissante sur ] 2[ avec lim
x
f(x) 0 f( 2) e 2 et
m ϵ ] e 2 0 donc, d après le corollaire du TVI, l équation f[ (x) m admet une unique solut ion
dans ] 2[
De même, l équation f(x) m admet une unique solution dans ] 2 [.
Ainsi, l équation f(x) m admet exactement deux solutions dans .
Si m 0 : Pour tout x de ] 2], f(x) 0 donc l équation f(x) m n admet pas de solution dans
] 2].
f est continue et strictement croissante sur ] 2 [ avec f( 2) e 2 < 0 ; lim
x
f(x) et m ϵ ] e 2 ; + [. Alors, d après le corollaire du TVI, l équation f(x) m admet une unique solution dans ] 2 [.
Alors l équation f(x) m admet une unique solution dans . Conclusion :
Si m e 2 l équation g(x) 0 n a pas de solution dans .
Si m e 2 ou m > 0 : l équation g(x) 0 a une unique solution dans . Si m ϵ ] e 20 : l équation g([ x) 0 a exactement deux solutions dans .
2. g0 est définie sur par g0(x) (x 1). La représentation graphique de g0 est donc une droite e 0 donc l équation ge(x) 0 a une unique solution dans .
e e 2 donc l équation g e(x) 0 n a pas de solution dans .
Conclusion : C1 est la courbe de g e ; C2 est la courbe de g0 et C3 est la courbe de ge. 3. On étudie le signe de gm(x) (x 1).
gm(x) (x 1) (x 1) me x (x 1) = me x.
Pour tout x de , e x 0 donc gm(x) (x 1) est du signe de m.
Si m 0 : m 0 donc Cm est toujours au dessus de D.
Si m 0 : Cm et D sont confondues.
Si m 0 : m 0 donc Cm est toujours en dessous de D.
