DEVOIR A LA MAISON N°5. Term Spé.
Pour le mercredi 14 octobre 2020
Sujet A : Pour préparer le bacI. On jette trois dés cubiques A, B et C. Les faces sont numérotées de 1 à 6. On s’intéresse au numéro des faces supérieures.
1. Combien y-a-t-il de résultats possibles ?
2. Combien y-a-t-il de résultats où les numéros sont différents ? 3. Combien y-a-t-il de résultats ne comportant aucun « 1 » ? 4. Combien y-a-t-il de résultats comportant au moins un « 1 » ? II.
1. En première générale, un élève doit choisir trois spécialités parmi les douze proposées.
Combien de triplettes possibles y-a-t-il ?
2. En terminale, les élèves doivent garder deux des trois spécialités choisies en première.
Combien de possibilités s’offrent alors à Corentin qui arrive en terminale pour choisir ses spécialités ? 3.
a.
Un parcours est constitué d’une triplette des spécialités choisies en première et d’une doublette de ces spécialités conservées en terminale. Déterminer le nombre de parcours différents.
b.
Coline a choisi les maths en première et en terminale. Combien de parcours correspondent à ce choix ?
III. Dans une classe de 25 élèves, 20 étudient l’anglais, 17 l’allemand et 15 l’italien. On sait que chaque élève étudie au moins deux de ces trois langues.
Combien d’élèves étudient les trois langues ?
DEVOIR A LA MAISON N°5. Term Spé.
Pour le mercredi 14 octobre 2020
Sujet B : Pour chercherI. On jette trois dés cubiques A, B et C. Les faces sont numérotées de 1 à 6. On s’intéresse au numéro des faces supérieures.
1. Combien y-a-t-il de résultats possibles ?
2. Combien y-a-t-il de résultats où les numéros sont différents ? 3. Combien y-a-t-il de résultats ne comportant aucun « 1 » ? 4. Combien y-a-t-il de résultats comportant au moins un « 1 » ?
II. Dans une classe de 25 élèves, 20 étudient l’anglais, 17 l’allemand et 15 l’italien. On sait que chaque élève étudie au moins deux de ces trois langues et que, de plus, tous les élèves étudient l’anglais ou l’allemand .
Combien d’élèves étudient les trois langues ?
III. Combinaison avec répétitions
E est un ensemble à n éléments (n ∈ ℕ*). Pour tout entier naturel tel que , une combinaison de éléments de E avec répétition est un ensemble de éléments de E qui peuvent se répéter.
L’ordre n’a donc pas d’importance mais les répétitions sont possibles.
Partie A : Exemples
Soit un ensemble de 3 éléments.
Une combinaison de 3 éléments de E avec répétitions est . Énumérer toutes les combinaisons de 3 éléments de E avec répétitions.
Partie B : Nombre de combinaison avec répétitions
Dans cette partie, E est un ensemble à n éléments (n ∈ ℕ*) et un entier naturel tel que .
L’ordre n’ayant pas d’importance, on écrit les combinaisons de éléments de avec répétitions dans l’ordre alphabétique.
Par exemple, si , la combinaison sera notée .
1. Pour chaque combinaison, on utilise la représentation suivante : on remplace une lettre par un point et on séparer les lettres différentes par une barre verticale.
Par exemple, en reprenant l’ensemble , sera représentée par . I . . I sera représentée par . I I . .
a.
Donner la représentation des combinaisons suivantes et .
b.Quelle combinaison est associée à la représentation I . . I . ?
2. Pour dénombrer le nombre de combinaison de éléments d’un ensemble à éléments avec répétition, il faut donc compter le nombre de façons de placer les points et les barres.
a.
En observant les exemples ci-dessus, préciser le nombre de points et le nombre total d’éléments à placer (barre et points).
b.
Justifier que le nombre de combinaison de éléments d’un ensemble à éléments avec répétition est
n k 1
k
. Partie C : Applications
1. A la boulangerie, Margot achète quatre viennoiseries pour elle et ses amis. Elle a le choix entre huit types de viennoiseries différentes et peut choisir plusieurs fois le même type de viennoiserie.
Combien a-t-elle de façons de faire ce choix ?
2. Un triomino est une pièce de jeu triangulaire sur laquelle on écrit un chiffre entre 0 et 5 dans
chaque coin. Un triomino est donc composé de trois chiffres. On peut écrire plusieurs fois le même
chiffre. Combien de triominos différents peut-on créer ?
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°5. Term Spé
I. On jette trois dés cubiques A, B et C. Les faces sont numérotées de 1 à 6. On s’intéresse au numéro des faces supérieures.
1. Soit E={1,2,3,4,5,6}.
Un résultat est un triplet de E. Il y en a . Il y a 216 résultats possibles.
2. Si les numéros sont différents, un résultats est un arrangement de 3 éléments de E.
Il y en a .
Il y a 120 résultats où les numéros sont différents.
3. Soit F={2,3,4,5,6}.
Un résultat ne comportant aucun « 1 » est un triplet de F. Il y en a . Il y a 125 résultats ne comportant aucun « 1 » .
4. Soit A l’ensemble des résultats comportant aucun « 1 » ; B l’ensemble des résultats comportant au moins un « 1 » et C l’ensemble des résultats possible.
A et B sont complémentaires.
C A B B .
Il y a 91 résultats comportant au moins un « 1 » . II.
1. Choisir trois spécialités parmi les douze proposées est une combinaison de 3 éléments parmi 12.
Il y en a
Il y a 220 triplettes possibles.
2. Le choix de Corentin est une combinaison de 2 éléments parmi 3. Il y en . Corentin a 3 possibilités pour choisir ses spécialités en terminale.
3.
a.
Il y a 220 triplettes possibles puis 3 façons de choisir les spécialités gardées en terminales.
. Il y a 660 parcours différents.
b.
* Pour choisir une triplette avec les maths, on a 1 choix pour prendre les maths puis on prend 2 spécialités parmi les 11 restantes.
On a donc façons de le faire.
* Pour choisir les spécialités gardées en terminale, on a 1 choix pour garder les maths, puis on doit prendre une spécialité parmi les 2 qui ne sont pas des maths. Il y a façons de le faire.
* On a donc possibilités pour Coline.
110 parcours correspondent au choix de Coline.
III. Soit A l’ensemble des élèves étudiant l’anglais, D l’ensemble des élèves qui étudient l’allemand et I l’ensemble des élèves qui étudient l’italien.
On peut modéliser la situation à l’aide du diagramme suivant : Les élèves étudient au moins deux langues donc il y a 0 élèves dans les parties hachurées.
Soit le nombre d’élèves qui étudient uniquement l’allemand et l’anglais. Soit le nombre d’élèves qui étudient
uniquement l’italien et l’anglais. Soit le nombre d’élèves
qui étudient uniquement l’allemand et l’italien. Soit le
nombre d’élèves qui étudient les 3 langues.
On a le système (S) :
nn11 nn23 nn4420 17
n2 n3 n415
n1 n2 n3 n425
(S)
nn3225 20 25 17
n125 15
n1 n2 n3 n4
25
nn325 8
n110
n4
5 8 10 25
nn325 8
n110
n42 2 élèves étudient les 3 langues.
IV. Combinaison avec répétitions Partie A
Les combinaisons de 3 éléments de E avec répétitions sont :
, , , , , , , , , Il y en a 10.
Partie B 1.
a.
est représenté par . . I I . est représenté par I . . . I
b.I . est associé à .
2.
a.
Il faut placer points et barres.
b.
Il y a donc éléments à placer.
On place d’abord les barres parmi les places. Il y a
façons de le faire. Puis on complète par les points, il y a 1 façon de le faire. Ainsi, il y a façons de placer les barres et les points.
Autrement dit, le nombre de combinaison de éléments d’un ensemble à éléments avec répétition est
n k 1
k
