le nombre d'éléments de

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MPSI B Année 2015-2016. DS 9 le 11/05/16 29 juin 2019

Exercice

1. Soit k ∈ {0, . . . , 16} et ϕ

k

le nombre d'éléments de

E

k

= {(i, j) ∈ {0, . . . , 8}

²

, i + j = k}

Calculer ϕ

0

, ϕ

1

, . . . , ϕ

16

. 2. En utilisant l'expression de

a = 111 111 111

comme somme de puissances de 10, trouver sans utiliser de machine l'écriture décimale de a

²

.

Problème

Ce texte porte sur un modéle probabilisé d'une succession d'expériences

¹

.

On dispose initialement d'une éprouvette contenant un certain nombre N de bactéries de deux types A et B. On place ces bactéries en culture où elles proliférent tout en conservant la proportion des types A et B. On en prélève alors N que l'on place en culture. On réitère plusieurs fois la séquence prélèvement-culture en prélevant toujours le même nombre N de bactéries.

Partie I. Calcul matriciel

Dans cette partie, on considère les matrices

M =







27 8 1 0

0 12 6 0

0 6 12 0

0 1 8 27







, A = 1 27 M.

On désigne par E

λ

l'ensemble des colonnes X ∈ M

4,1

( R ) telles que M X = λ X . 1. Diagonalisabilité de M .

a. Discuter suivant le réel λ du rang de la matrice M − λI

4

.

b. En déduire que, dans M

₄

( R ) , il existe D diagonale (à préciser) et P inversible (que l'on ne précisera que dans la question suivante) telles que M = P D P

⁻¹

.

1D'après HEC 1997 ECS, maths 2

2. Diagonalisation de M .

En formant des systèmes d'équations linéaires, calculer des bases de E

27

, E

18

, E

6

. En déduire, suivant votre choix de D , une matrice P telle que M = P D P

⁻¹

. 3. Puissances de A .

a. Pour n ∈ N, exprimer A

ⁿ

à l'aide de P et d'une matrice diagonale.

b. Préciser seulement la deuxième colonne de A

ⁿ

.

c. En considérant chaque coecient de A

ⁿ

comme une suite en n , justier que ces suites sont convergentes. On convient d'appeler limite de la suite des A

ⁿ

la matrice formée par ces limites. Quelle est cette limite matricielle ?

Partie II. Espace probabilisé.

Dans cette partie N est un entier naturel xé représentant le nombre de bactéries d'un prélèvement et I = J 0, N K. On note n ∈ N

^∗

le nombre fois où la séquence prélèvement- culture est eectuée et Ω

n

= J 0, N K

n

= I

ⁿ

.

Si on regarde ω ∈ Ω

n

comme un n -uplet (ω

1

, · · · , ω

n

) , alors ω

k

∈ J 0, N K = I désigne le nombre de bactéries de type A parmi les N prélevées au k -ième prélèvement.

On peut aussi regarder ω comme un chemin de longueur n partant de la racine dans un arbre orienté pour lequel N + 1 arêtes partent d'un n÷ud. Chaque arête étant associée à un prélèvement, elle est étiquetée par le nombre de bactéries de type A parmi les N prélevées.

Chaque n÷ud, à part le n÷ud racine qui n'est pas une extrémité, porte la même étiquette que l'arête dont il est l'extrémité.

Le n÷ud racine porte l'étiquette i

₀

∈ I qui représente aussi le nombre de bactéries du type A parmi les N de l'éprouvette initiale.

On introduit la notation suivante

∀(i, j) ∈ J 0, N K

2

, a(i, j) = N

i j N

ⁱ

1 − j

N

^N−i

1. Exemple. Dessiner l'arbre étiqueté dans le cas où N = 3 et n = 2 . 2. Dénombrement

Soit N un entier naturel xé, E un ensemble ni de cardinal e et A une partie de E de cardinal a avec N < a .

a. Soit j ∈ J 0, N K. Quel est le nombre de parties de E à N éléments ? Quel est le nombre de parties de E à N éléments et dont j exactement appartiennent à A ? b. Dans les conditions de la question précédente, exprimer le quotient du nombre de

parties avec j éléments dans A sur le nombre total de parties en fonction d'un

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S1509E

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coecient du binôme et de

^k_e

pour des entiers k dans J 1, N K. On note c(N, j, e, a) ce nombre.

c. Soit p ∈ [0, 1] , N et j xés. On suppose que a dépend de e de telle sorte que

^a_e

tende vers p lorsque e tend vers +∞ . Quelle est la limite de c(N, j, e, a) considérée comme une suite en e ?

3. Probabilité.

Pour k ∈ J 1, n K et (ω

1

, · · · , ω

k

) ∈ I

^k

, on note Ω(ω

1

, · · · , ω

k

) l'ensemble des n -uplets d`éléments de I qui commencent par (ω

1

, · · · , ω

k

) .

(i

1

, · · · , i

n

) ∈ Ω(ω

1

, · · · , ω

k

) ⇔ i

1

= ω

1

, · · · , i

k

= ω

k

L'espace I

ⁿ

est probabilisé par une fonction de probabilité P dénie par les formules suivantes.

∀i

1

∈ I, P (Ω(i

1

)) = a(i

1

, i

0

)

∀k ∈ J 2, n K , ∀(i

1

, · · · , i

k

) ∈ I

^k

, P

Ω(i₁,···,i_k−1)

(Ω(i

1

, · · · , i

k

)) = a(i

k

, i

k−1

) On peut remarquer que la dernière relation fait intervenir une probabilité condition- nelle.

a. Justier le choix de cette dénition.

b. Pour k ∈ J 1, n K et i ∈ I , on dénit l'événement X (k, i) par (i

1

, · · · , i

n

) ∈ X (k, j) ⇔ i

k

= i Montrer que, pour tout k ∈ J 2, n K et tout i ∈ I ,

P (X(k, i)) =

N

X

j=0

a(i, j) P (X (k − 1, j))

c. Dénir des matrices colonnes X

_k

et une matrice carrée A (préciser le nombre de lignes) permettant d'exprimer les relations de la question précédente avec un produit matriciel. Que peut-on en déduire sur la matrice colonne X

_k

?

4. Espérances.

Pour k ∈ J 1, n K, on note e

_k

=

N

X

i=0

i P (X (k, i)), e

⁰_k

=

N

X

i=0

i(N − i) P (X(k, i))

a. Calculer, pour j ∈ I ,

N

X

i=0

i a(i, j),

N

X

i=0

i(N − i) a(i, j)

b. Montrer que pour tous les k entre 1 et n , e

k

= i

0

, e

⁰_k

=

N − 1 N

^k

i

0

(N − i

0

)

5. Inégalités.

Pour k ∈ J 1, n K, on note u

k

= P (X(k, 0)) + P (X (k, N)) et v

k

= 1 − u

k

. a. Montrer que la suite (u

n

)

_n∈

N^∗

est croissante et convergente.

b. Montrer que v

_n

≤

_N−1¹

e

⁰_n

. 6. Limites.

a. Montrer que les suites ( P (X(n, i))

_n∈N∗

convergent vers 0 pour i ∈ J 1, N − 1 K.

b. Montrer que les suites ( P (X (n, 0))

_n∈

N^∗

et ( P (X (n, N))

_n∈

N^∗

convergent et préciser leurs limites.

c. Quel est l'eet probable de la répétition un grand nombre de fois de l'expérience citée au début.

7. Temps de séparation.

On introduit des événements C

n

(continue) et S

n

(stoppe) :

C

_n

: après l'expérience n , les deux types de bactéries sont présents.

S

_n

: après l'expérience n , l'éprouvette ne contient qu'un seul type de bactéries alors que les deux types guraient avant.

On note w

n

= P (S

n

) en convenant que w

0

= 0 car initialement l'éprouvette contient les deux types de bactéries. On s'intéresse à la suite (t

n

)

_n∈

N^∗

avec t

n

=

n

X

k=1

kw

k

a. Pour k ≥ 1 , exprimer w

_k

en fonction de certaines valeurs de la suite des v

_i

de la question 5.

b. Montrer que

∀n ∈ N

^∗

, t

n

= −nv

n

+

n−1

X

k=0

v

k

2

(3)

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c. Montrer que (t

n

)

_n∈N∗

est convergente. On note t sa limite.

Sans chercher à calculer t , montrer que

t ≤ i

₀

(N − i

₀

) N N − 1

3