du de diverses manières. On commence par dénir ce nombre.

(1)

MPSI B 2012-2013 DS 11 (le 11/06/13) 29 juin 2019

Problème I. Intégrale de Gauss

L'objet de ce problème est de calculer l'intégrale de Gauss Z

+∞

0

e

^−u²

du de diverses manières. On commence par dénir ce nombre.

Soit f la fonction dénie dans R par

f (x) = Z

x

0

e

^−u²

du

1. Montrer que f admet une limite nie en +∞ . Cette limite est notée R

+∞

0

e

^−u²

du . 2. On dénit une fonction g dans R et on admet qu'elle est dérivable et vérie :

g(x) = Z

1

0

e

^−(t²^+1)x²

dt

1 + t

²

g

⁰

(x) = Z

1

0

−2xe

^−(t²^+1)x²

dt a. Montrer que g

⁰

(x) = −2f

⁰

(x)f (x) pour tout réel x .

b. Montrer que g(x) =

^π₄

− f

²

(x) pour tout réel x .

c. Montrer que g converge vers 0 en +∞ et en déduire la valeur de l'intégrale de Gauss.

3. Dans cette question, on admet un résultat sur les intégrales de Wallis Z

^π₂

0

sin

ⁿ

u du

!

n∈N

∼ r π

2n

a. Montrer que, pour tout naturel n non nul,

∀t ∈ [0, √

n[, ln(1 − t

²

n ) ≤ − t

²

n ≤ − ln(1 + t

²

n )

b. Montrer que, pour tout n naturel non nul, Z

√n

0

(1 − t

²

n )

ⁿ

dt ≤

Z

√n

0

e

^−t²

dt ≤ Z

√n

0

(1 + t

²

n )

⁻ⁿ

dt

c. Montrer que

√ n Z

^π₂

0

sin

²ⁿ⁺¹

u du ≤ Z

√n

0

e

^−t²

dt ≤ √ n

Z

^π₂

0

sin

²ⁿ⁻²

u du et conclure.

4. Pour a > 0 , dans R

²

euclidien usuel, on dénit D

a

et C

a

: D

a

=

(x, y) tq x

²

+ y

²

≤ a

²

C

a

= [−a, a]

²

et les intégrales

I

_a

= Z

D_a

e

^−(x²^+y²⁾

dx ∧ dy J

_a

= Z

C_a

e

^−(x²^+y²⁾

dx ∧ dy

a. Montrer que I

a

= π(1 − e

^−a²

) . b. Montrer que J

a

= 4f (a)

²

.

c. Montrer que I

a

≤ J

a

≤ I

^√_2a

et en déduire la valeur de l'intégrale de Gauss.

Problème II. Sphères tangentes

Fig. 1: Une

¹₂

-conguration de 4 sphères disjointes.

Dans un espace euclidien de dimension 3 , pour un réel r > 0 , une r -conguration est un ensemble de sphères de rayon r et tangentes extérieurement à la sphère unité. L'intersection de deux d'entre elle doit contenir au plus un point. Elles peuvent donc être disjointes ou tangentes mais pas se couper. Pour une r -conguration de m sphères, on notera S

1

, · · · , S

m

ces sphères et A

₁

, · · · , A

_m

leurs centres.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S1211E

(2)

MPSI B 2012-2013 DS 11 (le 11/06/13) 29 juin 2019

L'objet de ce problème

¹

est de donner des propriétés du plus grand des cardinaux des r -congurations pour un r donné. Il est noté n(r) .

1. Montrer que r → n(r) est une fonction décroissante.

2. Montrer que n(r) ≥ 2 pour tout r > 0 .

3. Pour une r -conguration de m sphères et i 6= j entre 1 et n , en considérant k −−−→

A

i

A

j

k

²

, montrer que le cosinus de l'écart angulaire entre −−→

OA

i

et −−→

OA

j

est inférieur ou égal à 1 − 2

r 1 + r

²

4. a. En développant

P

3 i=1

−−→ OA

i

2

, montrer que r > 2 √

3 + 3 entraine n(r) = 2 . b. En développant

P

4 i=1

−−→ OA

i

2

, montrer que r > √

6 + 2 entraine n(r) ≤ 3 .

Fig. 2: Triangle équilatéral.

5. En considérant des polyèdres réguliers et des homothéties, on forme des congurations particulières qui conduisent à de nouvelles inégalités.

a. On considère un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon R . Quelle est la distance entre deux sommets ? Montrer que r ≤ 2 √

3 + 3 entraine n(r) ≥ 3 . b. Un repère orthonormal étant xé, on considère un tétraèdre dont les sommets

sont les quatre points respectivement de coordonnées

(1, 1, 1), (1, −1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, 1),

1d'après École de l'air 1993

Fig. 3: Tétraèdre régulier.

Quelle est la distance entre deux sommets ? Montrer que r ≤ √

6 + 2 entraine n(r) ≥ 4 .

c. On utilise cette fois les sommets, les milieux des arêtes et les milieux des faces d'un cube.

Que conclure sur n(r) lorsque r est inférieur ou égal à √

2 + 1 ,

^√³⁺¹₂

, 1 ?

Fig. 4: Sommets d'un cube.

6. Pour s ∈] − 1, 1[ , on considère la région de la sphère unité formée par les points m tels que x(m) ≥ s . On admet que l'aire de cette région est 2π(1 − s) .

a. Pour une sphère S

i

de rayon r et tangente extérieurement à la sphère unité, on considère l'ensemble Σ

_i

des points d'intersection de la sphère unité avec les

2

(3)

MPSI B 2012-2013 DS 11 (le 11/06/13) 29 juin 2019

Fig. 5: Milieux des faces d'un cube.

Fig. 6: Milieux des arêtes d'un cube.

demi-droites (Om) pour m ∈ S

i

. Montrer que l'aire de Σ

i

est

2π

1 −

√ 1 + 2r 1 + r

b. Montrer que

n(r) ≤ 2(1 + r)(1 + r + √ 1 + 2r)

r

²

= a(r)

7. On rappelle que le volume d'une boule de rayon R est

⁴₃

πR

³