Chapitre 3 : Géométrie dans l'espace
I Sphère
1 ) Définition
O est un point donné de l'espace, et R est un nombre positif donné.
Définitions :
la …... de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace situés à la distance R du point O : OM …... R
la …... de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M de l'espace situés à une distance de O inférieure ou égale à R : OM …... R.
un …... cercle d'une sphère de centre O et de rayon R est un cercle de centre …... et de rayon …..
Exemples : 2) Formules :
l... d'une sphère de rayon R est égale à A = ….. π R...
l... d'une boule de rayon R est égal à V = ...... π R...
Exemple: Calcule l'aire d'une sphère et le volume d'une boule toutes deux de rayon 5 cm.
Donne les valeurs exactes puis des valeurs approchées au dixième près.
On calcule l'aire de la sphère : A = 4 ×π× R2
A = …...
A ... …... cm2 valeur exacte A …...cm2 valeur approchée
On calcule le volume de la boule : V =4
3 × π ×R3 =
V …........ cm3 valeur exacte V …... cm3 valeur approchée
3) Section Propriétés :
La section d'une sphère de centre 0 par un plan est un …... de centre H,
Si O est différent de H, la droite (OH) est
…... au plan de section.
OHM est un triangle rectangle en H.
Méthode général pour un calcul dans l'espace : faire une figure plane grandeurs réelles.
Exemple :
Question : Une sphère de rayon 4cm est coupée par un plan à 3cm de son centre.
Donne les dimensions de la section.
Réponse :
On sait que : On appelle O le centre de la sphère, H le centre de la section et M un point de la section et de le sphère.
Or : La section d'une sphère …...
…...
Si O est différent de H, la droite (OH++) est
…... …...
Donc la section est ici un cercle de centre ... et de rayon …..
Et le triangle OHM est …... en H. D'après le théorème de …...:
...2 = …...2 …...2. 42 =...2 32
….. ² = ….... ... …....
…...² = 7 d'où r=7cm.
Le rayon de la section de cette sphère mesure 7cm.
O H
O R
... M ...
P
Cas particuliers :
Dans le cas où le plan de section passe par le centre de la sphère, le rayon de la section est égal au rayon de la sphère.
La section est alors appelée
…... cercle.
( H = O )
Si OH = R, la section est alors réduite au point H. On dit que le plan est …... à la sphère en H.
II Sections d'un pavé droit ou cylindre de révolution
Propriété : la section d'un parallélépipède rectangle par un
plan …... à une face ou une arête est un …...
1er cas :
la section est un
…...
superposable au rectangle ABCD.
2ème cas : la section est un
…... MNOP tel que ….... = …...
Propriété : la section d'un cylindre de révolution par un plan …...à son axe est un …...
Propriété : la section d'un cylindre de révolution par un plan ... à sa base est un ...
III Agrandir ou réduire, effet sur l'aire, le volume
À connaître
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par ….., les aires sont multipliées par …..., les volumes sont multipliés par …...
Exemple :
a) Soit un rectangle de périmètre 10cm, et d'aire 8 cm² . On multiplie ses dimensions d'un par 10.
Quelles est son nouveau périmètre, et sa nouvelle aire ?
b) On multiplie les dimensions d'un cube par 2, par combien est multiplié son volume ?
O
O' O'
O O
A B
C
D H
G F
E P
O N
M A
B
C
D H
G F E
IV Déterminer une section par réduction/agrandissement
La section d'une pyramide ou d'un cône de révolution par un plan …...
à la base est une …... de la base de coefficient k = …... = …...
La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD et le cône de révolution de hauteur [SO'] est une réduction du cône de révolution de hauteur [SO].
Exemple : La pyramide SABCD à base carrée de côté 3 cm et de hauteur 5 cm est coupée par un plan parallèle à sa base à 1 cm de sa base.
a) Quelle est la longueur A'B' du côté de la base de la pyramide réduite SA'B'C'D' ?
b) Déterminer le volume des pyramides SABCD et SA'B'C'D'.
Rédaction :
a) SO' = ….... =….... …..
La section d'une pyramide par un plan ... à la base est une …... de la base, de coefficient k =... 4
5 = …...
Or : …...
Donc les longueurs de la section sont multipliées par …... , soit A'B' = …... × …....=…... × ….... = 2,4 cm.
b) Volume de la pyramide SABCD =
S
D' C'
A' B'
D
C
B A
S
A A'
O O'
O O'
…...×…...
3 = …... = 15 cm3 VSA'B'C'D' = VSABCD × …... = 15× …... = 7,68 cm3 .
