Chapitre III : Aires et volumes

Chapitre III : Aires et volumes

Leçon 1l: Aires

de

pyramides,

de cônes.

Activités

l.

Dessiner en vraie grandeur un patron de chaque figure représentée en perspective

ci-

dessous. Laisser apparents les traits de construction.

.|

a.

Toutes les arêtes mesurent 4 cm. b. la base est un carré

c. la base est un disque

2cm Le cours

Mathématique C4-t78

\

4cm

L

Les pyramides

a. Pyramide de sommet S.

Définition.

Une pyramide de sommet S est un solide

dont

:

-

Une face est un polygone appelé base ;

-

Toutes lesfaces

lutérales

sont des triangles

qui

ont un sommet commun '.le sommet

Sdela

pyramide.

La hauteur d'une pyramide de sommet S est le segmeni

[SA-l

^{porté par la}

perpendiculaire en H au plan de la ^base.

La longueur

SH est aussi appelée hauteur de cette pyramide.

b. Pyramide régulière de sommet S

Définition

Une pyramide de sommet S est dite régulière lorsque ^:

-

sa base est un polygone régulier : triangle équilatéral, carré,

...

-

sa hauteur passe par

le

centre de ce polygone.

o

les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles

.

ruOr*osables.

Exemple : Pyramide à base pentagone

Sommet

-Arête

.+

Face latérale

'

Face latérale

-[pef[i6ç

teur Base

Pyramide

droite

^Pyramide oblique

b. Aire

d'une pyramide -

L'aire

latérale

L'aire

latérale

d'une

pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales.

.

L'aire

totale

L'aire

totale d'une pyramide est la somme de I'aire latérale et de I'aire de la base.

Aire totale

=

^aires latérales + aire de base

4=At+B

t

Pyramide oblique

: aire totale : aire latérale

aire de la base

Exemple

l:

^La

figure

ci-dessous représente une pyramide régulière de base le carré de côté a et d'apothème d. Calculer son aire latérale et son aire totale.

Apothème

o

o

A B

P

Puisque les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles superposables.

On obtient donc ^:

.

Aire

latérale =

:

I _{x périmètre de basex}

apothème '

A,=!x4axd:2ad

2

.

Aire

totale

=

^aire

^latérale

^{+ aire de base}

A,=At+B

'4 =2ad

⁺

a'

Exemple

2:La figure

ci-dessous représente une pyramide régulière à base triangulaire (tétraèdre régulier) dont toutes les arrêtes mesurent 4cm.

Calculer son aire latérale et son aire totale.

Solution:

A, At

B:

Puisque toutes les faces de cette pyramide sont des triangles équilatéraux superposabl es.

On obtient donc :

.

Aire latérale -

^3x

^Auas

^oit

A*",

=

f

"

lS

^x

BH

L

A,

:3t ], ^4S

^x

^BH

^oit

^{BH : {4'} it = 2Jt

2

A,

=3rlr4x2Ji:l2Jicm'

L .

Aire totale -

^4x

^A*o,

4:4rlrax2Jj ^=t6Jicm2

L

2.Les cônes

a. Un cône de sommet S

Un cône de sommet S est un solide limité _{par des} droites concourantes au sommet S et une base.

La hauteur est la distance entre la base et le sommet.

b. Un cône de révolution

Un cône de révolution a pour sommet S et pour base, un disque de centre O. La hauteur de ce cône est le segment [.SO](ou la longueur SO).

Le segment _[SO] est perpendiculaire au plan de la base.

c.

Aire d'un

cône de révolution

Sommet

Génératrice Hauteur

Base

Mathématique C4-181 t

L'aire

latérale d'un cône de révolution est égale à la moitié du produit du périmètre de base par la longueur d'une génératrice.

Aire

latérale

d'un

_{cône =}

1r.périmètre

_de basex génératrice 2

A,

::XP

X g

Cône droit Cône oblique

I

A,

,.) ==x(2nr)xg=vyt

L

r : rayonde base

g

: génératrice

.

L'aire

totale d'un cône de révolution est éeale à la somme

d'aire

latérale et d'aire de base.

Aire

totale d'un cône

:

aîre latérale + aire de base

n,:)xpxg+8

4:nrg+nrt=ær(g+r)

Patron

d'un

cône :

Le patron d'un cône est formé d'un disque

(pour

la base) et

d'un

secteur circulaire d'angle au centre

d

^(pour la surface latérale).

g (génératrice)

A

Disque de base

- La

longueur

s

de

l'arc Æ

est le périmètre du disque de base. ^' s

=2nr

-D',autrepart,ona:.s: 360"- ?!-:=nt=zo'q ^{360' '}

On

obtient

donc

2rr -2ngo

360"

d'où

le rayon de sa base

, , =

^{g 0,}

360'

Exemple

1

:

Soit un cône de

5cm

de générahice et de 3cm de rayon de

la

base. Calculer son aire latérale et son aire totale.

Solution :

On a:

' A': trl$

:nx3x5=l5ncln2

A,

:|5x3,74=

47,10cnt2

Surface latérale (Secteur circulaire)

.4,=4,+B A,:l5n+fir2

=15æ

+32n:24rcnt2 4 :24x3,14:75,36qrt2

Exemple 2 : Soit un cône de 4cm de génératrice. Son patron est formé

d'un

disque et d:un secteur circulaire

d'angle

0 =I5O" ^. Calculer son aire latérale et son aire totale.

Solution:

On calcule le rayon de sa base :

s0 ^4x 150" 4x l5

--- 3600 360" =- =-=

³⁶

^d'où

^{r =}

l.-

3

Mathématique C4-183 t

155

-:- 93

On obtient donc :

. Son aire laterale 1 A,

= trïg=314xJ"O=1.!î4:21,93cm2

Son aire de base

:B=

^nr2

=3.t4"f:')' ' \3/ \e/

⁼

^{l.rqf4) :8.72cm2}

. Son aire totale-:

A, =A,-+B

A, =2},93crt2 ^+8,72qrr2 :29,65qn2