du de diverses manières. On commence par dénir ce nombre.

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

L'objet de ce problème est de calculer l'intégrale de Gauss Z

+∞

0

e

^−u²

du de diverses manières. On commence par dénir ce nombre.

Soit f la fonction dénie dans R par f (x) =

Z

x

0

e

^−u²

du

1. Montrer que f admet une limite nie en +∞ . Cette limite est notée R

+∞

0

e

^−u²

du . 2. On dénit une fonction g dans R et on admet qu'elle est dérivable et vérie :

g(x) = Z

1

0

e

^−(t²^+1)x²

dt

1 + t

²

g

⁰

(x) = Z

1

0

−2xe

^−(t²^+1)x²

dt a. Montrer que g

⁰

(x) = −2f

⁰

(x)f (x) pour tout réel x .

b. Montrer que g(x) =

^π₄

− f

²

(x) pour tout réel x .

c. Montrer que g converge vers 0 en +∞ et en déduire la valeur de l'intégrale de Gauss.

3. Dans cette question, on admet un résultat sur les intégrales de Wallis Z

^π₂

0

sin

ⁿ

u du

!

n∈N

∼ r π

2n a. Montrer que, pour tout naturel n non nul,

∀t ∈ [0, √

n[, ln(1 − t

²

n ) ≤ − t

²

n ≤ − ln(1 + t

²

n ) b. Montrer que, pour tout n naturel non nul,

Z

√n

0

(1 − t

²

n )

ⁿ

dt ≤

Z

√n

0

e

^−t²

dt ≤ Z

√n

0

(1 + t

²

n )

⁻ⁿ

dt c. Montrer que

√ n Z

^π₂

0

sin

²ⁿ⁺¹

u du ≤ Z

√n

0

e

^−t²

dt ≤ √ n

Z

^π₂

0

sin

²ⁿ⁻²

u du et conclure.

4. Pour a > 0 , dans R

²

euclidien usuel, on dénit D

a

et C

a

: D

_a

=

(x, y) tq x

²

+ y

²

≤ a

²

C

_a

= [−a, a]

²

et les intégrales

I

a

= Z

Da

e

^−(x²^+y²⁾

dx ∧ dy J

a

= Z

Ca

e

^−(x²^+y²⁾

dx ∧ dy

a. Montrer que I

_a

= π(1 − e

^−a²

) . b. Montrer que J

_a

= 4f (a)

²

.

c. Montrer que I

a

≤ J

a

≤ I

^√_2a

et en déduire la valeur de l'intégrale de Gauss.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai AintGauss

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. Comme la fonction u → e

^−u²

est à valeurs positives, la fonction f est croissante. De plus, u ≥ 1 entraine u

²

≥ u donc, pour x ≥ 1 ,

f (x) = f (1) + Z

x

1

e

^−u²

du ≤ f (1) + Z

x

1

e

^−u

du = f (1) + e − e

^−x

≤ f (1) + e

La fonction f est donc croissante et majorée, elle admet une limite nie en +∞ . 2. a. Commençons transformer l'exponentielle en produit et de sortir par linéarité de

l'intégrale ce qui ne dépend pas de t . g

⁰

(x) =

Z

1

0

−2xe

^−x²

e

^−t²^x²

dt = −2xe

^−x²

Z

1

0

e

^−t²^x²

dt

Pour x non nul, utilisons ensuite le changement de variable u = tx dans l'inté- grale.Quand t est en 0 , u est en 0 . Quand t est en 1 , u est en x . De plus du = xdt , donc ce changement conduit à :

g

⁰

(x) = −2e

^−x²

Z

x

0

e

^−u²

du = −2f

⁰

(x)f (x)

Comme g(0) = f (0) = 0 , la formule est aussi vériée pour x = 0 .

b. La question a. montre que g − f

²

est une fonction constante. En particulier, g(0) − f (0)

²

= g(0) =

Z

1

0

dt 1 + t

²

= π

4 donc g(x) =

^π₄

− f (x)

²

.

c. Pour tous les t entre 0 et 1 : (t

²

+ 1)x

²

≥ x

²

donc 0 ≤ g(x) ≤

Z

1

0

e

^−x²

dt 1 + t

²

= π

4 e

^−x²

On en déduit que g converge vers 0 en +∞ donc le carré de la limite de f est

^π₄

. Comme cette limite est évidemment positive, on déduit la valeur de l'intégrale de Gauss

Z

+∞

0

e

^−u²

du =

√ π 2

3. a. On utilise l'inégalité bien connue :

∀x > −1, ln(1 + x) ≤ x

Elle peut se démontrer en utilisant une fonction auxiliaire et un tableau de va- riations ou en remarquant que la fonction ln est concave et que cette inégalité traduit que le graphe est au dessous de la tangente du point d'abscisse 0 . Appliquée en −

^t_n²

: ln(1 −

^t_n²

) ≤ −

^t_n²

.

Appliquée en

^t_n²

: ln(1 +

^t_n²

) ≤

^t_n²

, entraine −

^t_n²

≤ − ln(1 +

^t_n²

) .

b. On obtient l'inégalité demandée à partir de l'encadrement de la question a. en multipliant par n , composant par l'exponentielle puis en intégrant entre 0 et √

n . Ces opérations conservent les inégalités.

c. Utilisons des changements de variable dans les intégrales de droite et de gauche de l'encadrement de la question précédente.

Dans celle de gauche, posons t = √

n cos u . Pour les bornes : t = 0 ! u =

^π₂

, t = √

n ! u = 0 . Pour l'élément diérentiel : dt = − √

n sin u du . On en déduit Z

√n

0

(1 − t

²

n )

ⁿ

dt = √ n

Z

0

π 2

sin

²ⁿ

u(− sin u)du = √ n

Z

^π₂

0

sin

²ⁿ⁺¹

u du Dans celle de droite, posons t = √

n tan u . Pour les bornes : t = 0 ! u = 0 , t = √

n ! u =

^π₄

. Pour l'élément diérentiel : dt =

√n

cos²u

du . On en déduit Z

√n

0

(1 + t

²

n )

⁻ⁿ

dt = √ n

Z

^π₄

0

cos

²ⁿ⁻²

u du ≤ √ n

Z

^π₂

0

cos

²ⁿ⁻²

u du

car le cos est à valeurs positive dans l'intervalle considéré. On se ramène à un sin par le changement de varaiable en

^π₂

− u . On a donc bien prouvé

√ n Z

^π₂

0

sin

²ⁿ⁺¹

u du ≤ Z

√n

0

e

^−t²

dt ≤ √ n

Z

^π₂

0

sin

²ⁿ⁻²

u du Notons W

n

= R

^π₂

0

sin

ⁿ

u du . L'énoncé nous fait admettre que W

n

√ n → p

π 2

. On en déduit que

√ n W

2n+1

=

√ n

√ 2n + 1

√

2n + 1 W

2n+1

→ 1

√ 2

r π 2 =

√ π

2 √ n W

2n−2

=

√ n

√ 2n − 2

√

2n − 2 W

2n−2

→ 1

√ 2

r π 2 =

√ π 2

2

(3)

MPSI B 29 juin 2019

D'où, par passage à la limite (puisqu'on est certain de la convergence) la valeur de l'intégrale de Gauss

Z

+∞

0

e

^−u²

du =

√ π

2 4. a. On utilise les coordonnées polaires pour exprimer I

a

comme une double intégrale I

a

=

Z

2π

0

Z

a

0

e

^−r²

r dr

dθ = Z

2π

0

− 1 2 e

^−r²

a

0

dθ = π(1 − e

^−a²

)

b. En exprimant l'exponentielle comme un produit, on peut calculer J

a

comme une double intégrale

J

_a

= Z

a

−a

Z

a

−a

e

^−(x²^+y²⁾

dx

dy = Z

a

−a

e

^−y²

Z

a

−a

e

^−x²

dx

dy

= Z

a

−a

e

^−x²

dx Z

a

−a

e

^−y²

dy

= (2f (a))

²

c. Comme la fonction à intégrer est à valeurs positives et que le carré C

a

contient le disque D

a

et est contenu dans le disque D

^√_2a

, la positivité de l'intégrale entraine I

a

≤ J

a

≤ I

^√_2a

. On en déduit

π(1 − e

^−a²

) ≤ 4f (a)

²

≤ π(1 − e

^−2a²

) ⇒ 4f (a)

^{2 +}

−−→

^∞

π

On retrouve encore la valeur de l'intégrale de Gauss Z

+∞

0

e

^−u²

du =

√ π 2

3