DEVOIR A LA MAISON N°5. 1S1. Pour le mercredi 15 octobre 2014. I.

DEVOIR A LA MAISON N°5. 1S1.

Pour le mercredi 15 octobre 2014.

I. A ,B, C et D sont quatre points. Montrer dans chacun des cas suivants que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

1. AB AC 2 AD et CD 3 AC 6 AD . 2. AB 2 AC 2 AD et CD 2 AC 2 2 DA . 3. AD 3 DB 2 CB .

4. AC 2 CB 3 BD 3 AB .

II. Dans un repère, on donne A( 3 ; 1) ; B(2 ; 7) ; C( 4 ; 1) et D(m ; 1) où m est un réel.

1. On note M le point d intersection de la droite (BC) et de l axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point M.

2. Déterminer les coordonnées du point E tel que les droites (AB) et (CE) soient parallèles et tel que la droite (EB) soit parallèle à l axe des abscisses.

3. Déterminer m pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles.

4. Déterminer une équation de la droite (AB).

5. Déterminer une équation de la parallèle à (CB) passant par A.

III. b est un réel. D

est la droite d équation b ² x by 1 0.

Déterminer, s il(s) existe(nt), le(s) réel(s) b tel(s) que D

passe par le point A( 4 ; 3).

IV. Pour chercher.

Le triangle équilatéral ci-contre a pour côté a en centimètre (a étant un réel strictement positif).

Les arcs de cercles ont pour centres les sommets du triangle.

1. Montrer que les arcs de cercles ont le même rayon.

2. Exprimer en fonction de a l aire S du domaine hachuré.

DEVOIR A LA MAISON N°5. 1S1.

Pour le mercredi 15 octobre 2014.

I. A ,B, C et D sont quatre points. Montrer dans chacun des cas suivants que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

1. AB AC 2 AD et CD 3 AC 6 AD . On a CD 3 AB donc

et

sont colinéaires.

2. AB 2 AC 2 AD et CD 2 AC 2 2 DA . On a CD 2 AB donc

et

sont colinéaires.

3. AD 3 DB 2 CB donc AD DB 2 DB 2 CB donc AB 2 CB 2 BD

donc AB 2( CB BD )

donc AB 2 CD . Ainsi,

et

sont colinéaires.

4. AC 2 CB 3 BD 3 AB donc AC 2 BC 3 DB 3 BA

donc AC 2 ( DB BC ) DB 3 BA donc AB BC 2 DC DC CB 3 BA donc AB 3 DC 3 BA

donc 4 AB 3 CD Ainsi,

et

sont colinéaires.

II. Dans un repère, on donne A( 3 ; 1) ; B(2 ; 7) ; C( 4 ; 1) et D(m ; 1) où m est un réel.

1. M est sur l axe des abscisses donc son ordonnée est nulle. Soit M(x 0).

M est un point de (BC) donc les vecteurs BM et BC sont colinéaires.

On a BM (x 2 7) et BC ( 6 6)

BM et BC sont colinéaires donc 6( x 2) ( 6) ( 7) 0, c'est-à-dire x 5.

( 5 0).

2. La droite (EB) est parallèle à l axe des abscisses donc y

y

7. Soit E(x 7).

(AB) et (CE) sont parallèles donc les vecteurs AB et CE sont colinéaires.

On a AB (5 ; 6) et CE ( x 4 6)

AB et CE sont colinéaires donc 5 6 6( x 4) 0, c'est-à-dire x 1. E(1 ; 7).

3. (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires.

On a AB (5 6) et CD (m 4 2)

(AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si 5 ( 2) 6( m 4) 0 si et seulement si m 34

6

17 3

4. M(x ; y) ϵ (AB) AM et AB sont colinéaires AM(x 3 y 1) et AB (5 ; 6) 6( x 3) 5( y 1) 0

6x 5 y 23 0 (AB) a pour équation 6

5y 23 0.

5. Soit la parallèle à (CB) passant par A.

M(x ; y) ϵ AM et CB sont colinéaires AM (x 3 y 1) et CB (6 ; 6) 6( x 3) 6(y 1) 0

6x 6y 24 0 y x 4 a pour équation y

4.

III. D

passe par le point A( 4 ; 3) si et seulement si b ² ( 4) b 3 1 0

si et seulement si 4b² 3 b 1 0

= 25 donc l équation a deux solutions qui sont m

1 et m

1 4 Les réels b tels que D

passe par le point A( 4 ; 3) sont 1 et 1

4 .

IV. Pour chercher.

Le triangle équilatéral ci-contre a pour côté a en centimètre (a étant un réel strictement positif).

Les arcs de cercles ont pour centres les sommets du triangle.

1. Soient r

le rayon de l arc de cercle de centre A ; r

le rayon de l arc de cercle de centre B et r

le rayon de l arc de cercle de centre C.

D après la figure, on a





r

r

a r

r

a r

r

a

En soustrayant les deux premières équations, on a r

r

0 et donc r

r

.

En soustrayant les deux dernières équations, on a r

r

0 et donc r

r

. Ainsi, r

r

r

et r

r

a donc r

r

r

a 2 . Les arcs de cercles ont donc le même rayon. Ce rayon est

2 .

2. Cherchons d abord à exprimer l aire de la partie blanche en fonction de a : La partie blanche est composée de 3 secteurs circulaires.

Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°



 1

6

360° , donc chaque secteur circulaire a pour aire 1

6 de l aire du disque qui correspond.

Aire du disque de centre A = r

=



 a 2

2

= a² 4 . Aire du secteur circulaire de centre A : 1

6

a ²

4 = a² 24 Aire de la partie blanche : 3

²

24 =

² 8

Exprimons maintenant l aire du triangle en fonction de a :

Soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. D après le th de Pythagore dans le triangle ACH, on a CH = a 3

2 . L aire du triangle ABC est donc

a ^{a 3} 2

2 =

4 Concluons :

S a² 3

4

8 =

² 2 3