DEVOIR A LA MAISON N°4. 1S1. Pour le mercredi 8 octobre 2014. I.

DEVOIR A LA MAISON N°4. 1S1.

Pour le mercredi 8 octobre 2014.

I. f est une fonction polynôme du second degré et est sa courbe représentative dans un repère.

On sait que passe par le point A(2 ; 6) et coupe l axe des abscisses aux points d abscisses 1 et 3 2 . Déterminer la fonction f.

II. A, B, C, O et P sont quatre points tels que OP 2 OA 4 OB 2 OC et I est le milieu de [AC].

1. Exprimer OP en fonction de AB et AC . 2. Exprimer BI en fonction de AB et AC .

3. Montrer que les droites (OP) et (IB) sont parallèles.

III. Dans un repère d origine O, on donne A ( 2 3) ; B (1 5) et C(7 4).

1. Montrer que le triangle ABC est rectangle.

2. Déterminer les coordonnées du point D tel que 2 BC BD 3 DO.

3. Les droites (AD) et (BC) sont-elles parallèles ? IV. Déterminer le trinôme tel que :

 sa première racine est le nombre premier qui est pair.

 sa deuxième racine est le triple de la première.

 l ordonnée du sommet de sa courbe est la somme de ses deux racines.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°4. 1S3

I. f est une fonction polynôme du second degré donc f( x) ax² bx c où a, b et x sont des réels avec a non nul.

passe par le point A(2 ; 6) donc f (2) 6, c'est-à-dire a 2² b 2 c 6 ou 4a 2b c 6.

coupe l axe des abscisses aux points d abscisses 1 et 3

2 donc f( 1) 0, c'est-à-dire a ( 1)² b ( 1) c 0 ou a b c 0 et f

 

  3

2 0 c'est-à-dire 9 4 a 3

2 b c 0.

On a donc le système (S)

 

 ⁴ _a ^a _b ^{2 b} _c ^c ₀ ⁶

9 4 a ³

2 b c 0 (S)    ^c _{a b} ^{6 4} _{6 4} ^{a 2} _a ^b _{2 b 0}

9 4 a ³

2 b 6 4 a 2b 0    ^c _b ^{6 4a} _{2 a} ^{2 b}

7 4 a ¹

2 (2 a ) 6 0    c 6 4a 2b b 2 a

a 4    c 6 b 2 a 4 Ainsi f est la fonction définie sur par f (x ) 4 x² 2x 6.

II.

1. OP = 2 OA 4 ( OA AB ) 2 ( OA AC ) = 2 OA + 4 OA 4 AB 2 OA 2 AC OP = 4 AB 2 AC

2. BI BA AI Or I est le milieu de [AC] donc AI 1 2 AC Ainsi BI = BA 1

2 AC = AB 1 2 AC

3. On a OP = 4 AB 2 AC et BI = AB 1

2 AC donc OP 4 BI . Les vecteurs OP et BI sont colinéaires donc les droites (OP) et (IB) sont parallèles.

III.

1. On a AB ² (1 ( 2))² (5 3)² 13 ; AC²=(7-(-2))²+(-4-3)²=130 et BC²=(7-1)²+(-4-5)²=117 AB ² BC ² 13 117 130 AC² donc, d après la réciproque du th de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

2. Soit D(x y ). Alors BD (x 1 y 5) ; DO ( x y ) et BC (6 9).

2 BC BD 3 DO





2 6 x 1 3 x 2 ( 9) y 5 3y

 

 ^{x 11} ₄

y ²³ 4

D

 

  11

4

23

4 . 3. AD

 

  3 4

11

4 et BC (6 9).

 

  3

4 ( 9) 11

4 6 = 39

4 ≠ 0 donc les vecteurs AD et BC ne sont pas colinéaires. Ainsi, les droites (AD) et (BC) ne sont pas parallèles.

IV. Soit f (x) = ax² b x c le trinôme cherché, où a, b et x sont des réels avec a non nul.

Le seul nombre premier pair est 2 donc 2 est une racine du trinôme.

Le triple de 2 est 6 donc 6 est une racine du trinôme.

Les racines du trinôme sont 2 et 6 donc f( x) a (x 2)(x 6) où a est un réel non nul.

On a alors f (x ) a x² 8ax 12 a.

La somme des deux racines est donc 2 + 6 = 8 : l ordonnée du sommet est 8.

L abscisse du sommet est b

2 a = 8 a

2 a = 4 donc son ordonnée est f(4) 16 a 32 a 12 a.

On a donc 16 a 32 a 12a 8, c'est-à-dire a 2.

Ainsi le trinôme cherché est 2(x 2)( x 6), soit 2 x² 16x 24.