DEVOIR A LA MAISON N°4. TS3. Pour le mercredi 8 octobre 2014 I.

DEVOIR A LA MAISON N°4. TS3.

Pour le mercredi 8 octobre 2014 I. f est la fonction définie par f( x) 2x

³

x

²

3

3 x² x 2 . 1. Déterminer l ensemble de définition de f.

2. Déterminer les limites de f en et + . 3. Déterminer les limites de f en 2

3 . 4.

a. Déterminer les réels a, b et c tels que 2x

³

x² 3 (x 1)(a x² bx c) pour tout réel x.

b. Factoriser le trinôme 3 x ² x 2.

c. Déterminer la limite de f en 1.

5. Dresser le tableau de variation de la fonction f en faisant apparaître les limites.

II. Soit f la fonction définie sur \{2} par f(x ) = 2x² 3 x 1 x 2

Soit C

_f

la courbe de f dans un repère et soit la droite d équation y 2 x 1 dans le même repère.

1. Etudier la position relative de C

_f

et de la droite . 2. Déterminer lim

x

[f (x ) (2x )] et lim

x

[ ]. Interpréter graphiquement ces limites.

On dit que la droite est une asymptote oblique à C

f

en et + .

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°4. TS3

I. f est la fonction définie par f( x) 2x

³

x

²

3 3 x² x 2 .

1. f( x) est défini si 3 x² x 2 ≠ 0. = 25 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 et 2 3 . L ensemble de définition de f est D

f

= \







1 2



3 . 2. On a des FI.

Pour tout x de D

f

, f (x ) x

³

 

 

2 ¹

x 3 x

³

x ²

 

 

3 ¹

x 2 x ²

= x  

 

2 ¹

x 3 x

³

3 ¹

x 2 x² lim

x

2 ¹

x 3

x

³

lim

x

2 ¹

x 3

x

³

2 et lim

x

3 ¹

x 2

x ² lim

x

3 ¹

x 2

x ² 3 donc lim

x

f( x) et lim

x

f(x )) . 3. lim

x ²

3

2x

³

x² 3 85 27 . lim

x ²

3

3x ² x 2 0 et on a le tableau de signes suivant : x 1 2/3 +

3x ² x 2 + +

On a donc lim

x 2

3

3x ² x 2 0 et lim

x ²

3

2 x

³

x ² 3 85

27 > 0 donc lim

x 2

3

f (x) Et lim

x ²

3

3x² x 2 0

⁺

et lim

x ²

3

2 x

³

x² 3 85

27 > 0 donc li m

x ²

3

f (x) 4.

a. ( x 1)( ax ² b x c) = ax

³

bx ² cx ax² bx c ax

³

( b a) x² (c b )x c 2x

³

x² 3 ( x 1)( ax ² b x c) pour tout réel x

 

 ² ₁ ^a _{b a}

1 c b

3 c    ^a _b ² ₃

c 3 c 3 Ainsi, pour tout réel x, 2 x

³

x ² 3 (x 1)(2x ² 3 x 3).

b. Factorisation de 3x² x 2 : le trinôme a pour racines 1 et 2

3 (voir question 1) donc, pour tout réel x : 3x ² x 2 3( x 1)

 

  x ²

3 = (x 1)(3 x 2).

c. Alors, pour tout x de D

f

, f (x ) ( x 1)(2 x² 3x 3)

(x 1)(3 x 2) = 2 x² 3x 3 3 x 2 lim

x 1

2 x² 3x 3 8 et lim

x 1

3x 2 5 donc lim

x 1

f (x ) 8 5 . 5. -Pour tout x de D

f

, f( x) 2x² 3 x 3

3x 2 donc f est dérivable sur D

f

. Pour tout x de D

f

, on a f (x ) (4 x 3)(3 x 2) (2 x² 3 x 3)3

(3 x 2)² = 6x² 8 x 3

(3x 2)

²

. Signe de 6x² 8x 3 : = 136 donc le trinôme a deux racines qui sont 4 34

6 et 4 34

6 et il est du signe de a 6 > 0 sauf entre ces racines.

On a donc le tableau de variation :

x 4 34

6 1 2

3 4 34

6 +

6 x² 8 x 3 + +

(3 x 2)² + + + + +

f ( x) + +

f (x)

f   

 



4 34

6

8 5

8 5

+ + f   

 



4 34

6

II. Soit f la fonction définie sur \{2} par f(x ) = 2x² 3 x 1 x 2

Soit C

f

la courbe de f dans un repère et soit la droite d équation y 2 x 1 dans le même repère.

1. On étudie le signe de f (x ) (2 x 1). Soit x un réel différent de 2.

f (x ) (2 x 1) = 2x² 3 x 1 x 2

(2x 1)( x 2)

x 2 = 2x ² 3x 1 2 x² 4 x x 2

x 2 = 3

x 2 . On peut construire le tableau suivant :

x 2 +

3 + +

x 2 +

3 x 2

+

Position de C

f

par rapport à C

f

est en dessous de C

f

est au dessus de 2. Pour tout réel x différent de 2, f (x ) (2 x 1) = 3

x 2 donc on a : lim

x

[f (x) (2 x )] = lim

x

[ ] = 0.

La courbe C

f

se rapproche de la droite lorsque x tend vers + ou . L écart entre la courbe et

la droite tend vers 0. La droite est asymptote à la courbe de f en et en + .