DEVOIR A LA MAISON N°4. 1S1 Pour le lundi 8 octobre 2018. I.

DEVOIR A LA MAISON N°4. 1S1

Pour le lundi 8 octobre 2018.

I. ABC est un triangle rectangle isocèle tel que AB AC 5 cm. AHMK est un rectangle. On pose AH x (en cm).

1. Prouver que l’aire S(x ) du domaine coloré est S (x) x ² 5x 25 2 . 2. Quel est l ensemble de définition de la fonction S ?

3. Où doit-on placer le point H sur le segment [AB ] pour que cette aire soit minimale ?

II. f et g sont les fonctions définies par f(x) x ² 5x 8 et g (x) x ² x 3.

1. Déterminer la position relative des courbes de f et de g.

2. Déterminer la position relative de la courbe de f et de celle de l axe des abscisses.

III. Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. (x ² 4)  

  2 x² ¹

2 x ³ 4 0

2. (x 2) ( x ² 3 x 1 ) (x 2)(2x 4)

3. 1

x² 9 14 x 3 3

IV. Voici la courbe d une fonction f définie sur par f(x ) 2 x ² bx c . Sans aucun calcul, répondre aux questions suivantes en expliquant vos réponses :

1. Quel est le signe du discriminant ? 2. Donner la forme factorisée de f(x ).

3. Donner la forme canonique de f(x).

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°4. 1S1

I. ABC est un triangle rectangle isocèle tel que AB AC 5 cm. AHMK est un rectangle. On pose AH x (en cm).

1. D après le th de Thalès, on a BH BA

HM

AC , c'est-à-dire 5 x 5

HM

5 et donc HM 5 x . L aire du rectangle AHMK est alors x (5 x) et celle du triangle ABC est 5 5

2 25

2 Alors S(x) 25

2 x (5 x) x² 5x 25 2

2. L ensemble de définition de S est l intervalle [0 5].

3. S est une fonction polynôme de degré 2 avec a 1 0 donc S est décroissante puis croissante.

b 2a

5

2 et f( ) 25

4 . On peut donc construire le tableau suivant : x 0 5

2 5

L aire de la partie colorée est minimale lorsque AH 2,5cm , c'est-à-dire lorsque H est le milieu du segment [AB].

S(x ) 25

2 25 2 25

4

II. f et g sont les fonctions définies par f(x) x ² 5x 8 et g (x) x ² x 3.

1. On étudie le signe de f(x ) g(x ).

Pour tout réel x, f(x ) g(x ) x² 5 x 8 ( x² x 3) 6x 11.

On peut construire le tableau suivant :

x 11/6 + signe de f(x) g(x )

Positions relatives C f en dessous de C g C f au dessus de C g

2. On étudie le signe de f(x ).

f(x ) est une fonction trinôme.

7 0 donc le trinôme n a pas de racine et il est toujours du signe de a 1 0 : pour tout x de , f(x ) 0.

La courbe de f est donc toujours au-dessus de l axe des abscisses.

III.

1. (x ² 4)  

  2 x² ¹

2 x ³

4 0  (x 2)(x 2)  

  2 x² ¹

2 x ³

4 0  x 2 0 ou x 2 0 ou 2x ² 1 2 x 3

4 0 Résolution de 2x ² 1

2 x 3

4 0 : 25

4 0 donc l équation a deux solutions : x 1

3 4 et x 2

1 2 . Ainsi, (x² 4)  

  2x ² ¹

2 x ³

4 0  x 2 ou x 2 ou x 3

4 ou x 1 2 . Les solutions sont 2 ; 2 ; 3

4 et 1 2 .

2. (x 2) ( x ² 3 x 1 ) (x 2)(2x 4)  ( x 2) ( x ² 3 x 1 ) (x 2)(2x 4) 0

 (x 2)(x ² 3x 1 2x 4) 0

 (x 2)(x ² x 5) 0 Signe de x ² x 5 :

21 donc le trinôme a deux racines qui sont x 1

1 21

2 et x 2

1 21

2 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines.

On a donc le tableau de signes suivant :

x x 1 x 2 2 + x 2

x² x 5 (x 2)( x ² x 5) Ainsi, S

 

 

1 21

2  

 

1 21

2 2 .

3. 1

x² 9 14

x 3 3 Les VI sont 3 et 3.

1 x ² 9

14

x 3 3  1

(x 3)( x 3)

14( x 3) (x 3)( x 3) 3

 14x 43 (x 3)( x 3) 3

 14x 43 3(x 3)( x 3) et x  3 et x  3.

 3x ² 14x 70 0 et x  3 et x  3.

1036 0 donc le trinôme a deux racines qui sont x ₁ 7 259

3 et 4 259 3 . x ₁ et x ₂ ne sont pas les VI donc S

 



 

7 259 

3

7 259

3 .

IV. Voici la courbe d une fonction f définie sur par f(x ) 2 x ² bx c . Sans aucun calcul, répondre aux questions suivantes en expliquant vos réponses :

1. La courbe de la fonction f coupe deux fois l axe des abscisses donc l équation f(x ) 0 admet deux solutions. Ainsi, est strictement positif.

2. D après le graphique, les racines du trinôme sont 1 et 5. De plus, le coefficient de x ² est a 2. Alors, d après le cours, la forme factorisée de f(x ) est f(x ) 2( x 1)( x 5).

3. D après le graphique, le sommet de la parabole représentant la fonction f a pour coordonnées (2 18).

Ainsi, la forme canonique de f(x) est f(x ) 2(x 2) 18.