DEVOIR A LA MAISON N°16. 1S1. Pour le lundi 27 avril 2015. I.

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DEVOIR A LA MAISON N°16. 1S1.

Pour le lundi 27 avril 2015.

I. Pour appliquer les formules du cours : Sans calculatrice, déterminer (en justifiant) : cos  

  4

3 ; sin

 

  6 ; cos

 

  4 ; sin

 

  6 8 ; cos(

3 9 ) ; sin

 

  2

3 9

2 .

II. Dans chacun des cas suivants, déterminer deux mesures en radians de l angle . Expliquer (on peut s aider du cercle trigonométrique).

1. cos( ) 1

2 et sin( ) 3 2 . 2. cos( ) 1

2 et sin( ) 3 2 . 3. cos( ) 1

2 et sin( ) 3 2 . 4. cos( ) 1

2 et sin( ) 3 2 .

III. f est la fonction définie par f (x ) 2 x² 6x 5

3x 9 . Construire le tableau de variation de la fonction f.

IV. Pour chercher.

ABCD est un carré.

Le point F est sur le segment [AD ]. Le point E est situé sur (AB ), n’est pas sur la demi-droite [ BA). et BE DF. Les droites ( BC ) et ( EF ) se coupent en M.

Où placer F pour que l’aire du triangle BEM soit maximale ?

Vous pouvez demander de l aide par mail via l ENT si vous n arrivez pas à démarrer.

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CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°16 1S1 I.

cos  

  4

3 cos

 

 

3 cos

 

  3

1 2 sin

 

 

6 sin

 

  6

1 2 cos  

 

4 cos

 

  4

2 2 sin

 

 

6 8 sin

 

  6

1 2 (8 correspond à 4 tours) cos(

3 9 ) cos

 

 

3 8 cos

 

 

3 cos

 

  3

1 2 sin  

  2

3 9

2 sin

 

  2

3 4

2 sin

 

  2

3 2 cos

 

  2

3 cos

 

 

3 cos

 

  3

1 2 II.

1. cos( ) 1

2 et sin( ) 3 2 :

3 2k , k étant un réel.

2. cos( ) 1

2 et sin( ) 3 2 :

3 2k 2

3 2 k ; k étant un réel.

3. cos( ) 1

2 et sin( ) 3 2 :

3 2k , k étant un réel.

4. cos( ) 1

2 et sin( ) 3 2 :

3 2k 4

3 2k , k étant un réel.

III. f est dérivable sur \{ 3}. f (x) (4x 6)(3x 9) (2 x² 6x 5)3

(3x 9) ² = 3(2x ² 12x 23)

(3x 9) ² Signe de 2 x² 12x 23 : 40 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 2 0.

On a donc le tableau de variation :

x 3 +

3(2 x² 12 x 23) + +

(3x 9) ² + +

signe de f (x) + +

variations de f

IV. On choisit comme unité le côté du carré : AD 1. Posons x DF BE. On a alors AF 1 x . Les points E,B , A sont alignés, de même que les points E,M, F. Les droites (BM) et ( AF) sont parallèles.

Alors, d’après le th de Thalès : EB EA

EM EF

BM

AF , et donc x x 1

BM 1 x . Ainsi BM x(1 x)

x 1 et l aire du triangle BME est BM BE 2

x (1 x )

x 1 x

2 = x² x ³

2x 2 . Notons A (x ) cette aire.

A est définie et dérivable sur [0 1].

A (x ) (2x 3 x²)(2 x 2) 2 ( ^x² ^x ³ )

(2 x 2)²

4x ³ 4 x² 4x 4(x 1) ²

x ( x ² x 1)

(x 1) ² du signe de x ² x 1 car x 0.

Signe de x ² x 1 : 5 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 5

2 0 et 1 5

2 0,618.

On a donc le tableau de variation :

x 1 5

2 +

x ² x 1 +

signe de f (x) +

variations de f

Il faut que DF 1 5

2 pour que l aire du triangle BEM soit maximale.