DEVOIR A LA MAISON N°11. 1S1.
Pour le mercredi 4 février 2015.
I. Pour revoir le chapitre sur les équations de droites.
Dans un repère, on donne A( 3 5) ; B(6 2 ) et u(1 6). est la droite d équation 3x 5y 6 0.
1. Déterminer une équation de la droite (AB).
2. Déterminer une équation de la droite D de vecteur directeur u passant par B.
3. Les droites (AB) et sont-ell es parall èl es ? Sinon, dét erm iner les coordonnées de leur point d int ers ect ion.
II. Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x² 4x 1
1. Soit a un réel. Montrer en calculant le taux d accroissement que f est dérivable en a et que f (a) = 6a 4
2.
a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d abscisse 1.
b. Etudier les positions relatives de T et de la courbe de f.
3. Existe-t-il des points de la courbe de f en lesquels la tangente à la courbe est horizontale ? III. Pour chercher
Quelles sont les fonctions affines f telles que pour tout réel x, f(f(x)) 4x 3 ?
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°12. 1S1
I.
1. M(x y) ϵ(AB) AM et AB colinéaires AM(x 3 y 5) et AB(9 3) 3(x 3) 9(y 5) 0
3x 9y 36 0 x 3y 12 0 (AB) a pour équation x 3y 12 0.
2. D a pour vecteur directeur u(1 6) donc D a une équation de la forme 6x y c 0, avec c un réel.
B(6 2) est une point de D donc 6 6 2 c 0, c'est-à-dire c 34.
D a pour équation 6x y 34 0.
3. (AB) a pour vecteur directeur AB(9 3) et a pour vecteur directeur v(5 3).
9 ( 3) ( 3) 5 12 ≠ 0 donc les vecteurs AB et v ne sont pas colinéaires.
Les droites (AB) et n e s ont don c pa s parallèl es . Soit I(x y) leur point d intersection.
x 3y 12 0
3x 5y 6 0 3x 9y 36 0
14y 42 0 y 342 14 3
3x 9 3 36 0
y 3
x 3 I(3 3) II.
1. Soit a un réel et h un réel non nul.
f(a h) f(a) h
3(a h)² 4(a h) 1 (3a² 4a 1)
h
3a² 6a h h² 4a 4h 1 3a² 4a 1
h = h² 6ah 4h
h
h(h 6a 4)
h h 6a 4.
lim
h 0
h 6a 4 6a 4 donc f est dérivable en a et on a f (a) 6a 4.
2.
a. T a pour équation y f (1)(x 1) f(1).
f (1) 6 1 4 10 et f(1) 3 1² 4 1 1 =6
Ainsi T a pour équation y 10(x 1) 6 ou y 10x 4
b. On étudie le signe de f(x) (10x 4) 3x² 6x 3 3(x² 2x 1) 3(x 1)² 0.
La courbe de f est toujours au-dessus de sa tangente T, sauf au point d abscisse 1 où elles sont confondues.
3. La tangente à la courbe au point d abscisse a est horizontale ssi f (a) 0.
f (a) 0 6a 4 0 a 2
3. La courbe de f admet une unique tangente horizontale : c est la tangente au point d abscisse 2
3. III.
Soit f une fonction affine telle que, pour tout réel x, f(f(x)) 4x 3.
f est une fonction affine donc f(x) a x b, où a et b sont des réels.
Pour tout réel x, f(f(x)) a f(x) b a(ax b) b a²x ab b. f(f(0)) 4 0 3 3 donc ab b 3.
f(f(1)) 4 1 3 1 donc a² 1 ab b 1.
On a donc
ab b 3
a² ab b 1
ab b 3
a² 3 1 ab b 3
a² 4 ab b 3 a 2 ou a 2
a 2
b 3 ou
a 2
b 1
Alors f est définie par f(x) 2x 3 ou par f(x) 2x 1.
Vérification :
Si f(x) 2x 3 : f(f(x)) f( 2x 3) 2( 2x 3) 3 4x 3 Si f(x) 2x 1 : f(f(x)) f(2x 1) 2(2x 1) 1 4x 3
Les fonctions affines f telles que pour tout réel x, f(f(x)) 4x 3 sont les fonctions x 2x 3 et x 2x 1.
