DEVOIR A LA MAISON N°9. 1S1 Pour le lundi 3 décembre 2018. I.

DEVOIR A LA MAISON N°9. 1S1

Pour le lundi 3 décembre 2018.

I.

f est une fonction définie sur , décroissante sur ] 1] et croissante sur [1 [

1. Comparer

et

2. Comparer

et

3. a et b sont des réels de [2 3] tels que a b . Comparer

1)²) et

1)²)

II. On se place dans un repère. Soient les points : A(1 ;3), B(− 4 ;0), C(3 ;2) et D(0,5 ; 0,5).

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier en utilisant des vecteurs.

2. Montrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze.

3. Déterminer les coordonnées du point I que ABCI est un parallélogramme.

4. Déterminer les coordonnées du point M tel que AM 2 BM CD .

III. Soit un parallélogramme ABCD. Soit I le milieu de [AD], E le symétrique de I par rapport à A et K le point tel que AK 1

3 AB .

1. Rappeler la relation de Chasles.

2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que EK 1

3 AB 1

2 AD . 3. Exprimer de même EC en fonction de AB et AD .

4. Montrer que les points E, K et C sont alignés.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°9 1S1.

I.

1.

f est croissante sur [1 [ et 1 3 4 donc

(3)

2. f est décroissante sur

] 1]

donc

3.

2

3 donc 1 (a 1) (b 1) 2

donc 1 (a 1)² (b 1)² 4 car la fonction carrée est croissante sur [0 [

donc 1 (a 1)² (b 1)² car 1<0

donc

1)²)

1)²) car f est décroissante sur ] 1]

II.

1. AB ( 5 3) et AC (2;-1).

− 5 × (− 1) = 5 et − 3 × 2 = − 6. Les vecteurs AB et AB ( 5 3) et AC (2;-1). ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. AB ( 5 3) et CD (-2,5;-1,5).

− 5 × (− 1,5) = 7,5 et − 3 × (− 2,5) = 7,5. Les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3. I est le point tel que ABCI est un parallélogramme. On note (x ; y) ses coordonnées.

ABCI est un parallélogramme donc AI BC AI (x −1; y−3) et BC (7;2).

AI BC donc

x−1=7

y−3=2 donc

x =8

y =5 I(8 ; 5)

4. Soit M(x ; y). AM ( x−1; y −3) ; BM ( x+4; y ) et CD (-2,5;-1,5) AM 2 BM CD donc

x−1+2( x +4)=-2,5

y−3+2 y =-1,5 donc

3x +7=-2,5 3y −3=-1,5 donc

 

 ^{x=- 9,5} ₃ ^{=- 19} ₆

y= 1,5 3 =0,5

M  

  19

6 ; ¹ 2

III.

1. Relation de Chasles : si A, B et C sont trois points du plan, alors AB BC AC . 2. EK EA AK . Or E est le symétrique de I par rapport à A donc EA AI

EK AI AK . Or I est le milieu de [AD] donc AI 1 2 AD EK 1

2 AD AK . Or AK 1 3 AB EK 1

2 AD 1 3 AB

3. EC EA AC

EC EA AB BC . Or ABCD est un parallélogramme donc BC AD EC EA AB AD . Or vec(EA)=vec(AI) 1

2 AD EC 1

2 AD AB AD . EC 3

2 AD AB

4. EK 1

2 AD 1

3 AB et EC 3

2 AD AB

On a donc EC 3 EK .

Les vecteurs EC et EK sont colinéaires donc les points E, K et C sont alignés.