DEVOIR A LA MAISON N°12. 1S1 Pour le lundi 28 janvier 2019. I.

DEVOIR A LA MAISON N°12. 1S1

Pour le lundi 28 janvier 2019.

I. Lors d un jeu télévisé, le candidat doit choisir entre trois portes à ouvrir.

S il ouvre la 1 ère porte, il remporte un chèque de 50 000€.

S il ouvre la 2 ième porte, il a 10% de chances de gagner 200 000€, 88% de chances de remporter 35 000€ et 2% de chances de repartir les mains vides.

S il ouvre la 3 ième porte, il a 1% de chances de gagner 3 000 000€, 94% de chances de gagner 20 000€ et 5% de risque de ne rien gagner.

1. Quelle porte doit-il choisir pour avoir la plus grande espérance de gain ?

2. Après étude, on remarque que les candidats choisissent une porte au hasard, chacune ayant la même probabilité d être choisie. Déterminer le gain moyen par candidat.

II. Une agence de voyage propose des formules week-end à Londres (transport et hôtel compris). Un client doit choisir entre les formules "Avion + Hôtel" à 390€ et "Train + Hôtel" à 510€ et peut choisir en plus l option "visites guidées" à 100€.

Une étude a montré que :

- 60% des clients choisissent "Avion + Hôtel" et, parmi eux, la moitié choisit l option "visites guidées"

- 12% des clients choisissant la formule "Train + Hôtel" choisissent l option "visites guidées".

On interroge un client au hasard et on note X sa dépense totale, en euros.

1. Déterminer la loi de X.

2. Calculer l espérance de X et interpréter.

3. L agence espère vendre 50 formules. Quel chiffre d affaires peut-elle espérer obtenir ?

III. Pour traiter un patient, un médecin procède à l injection d une substance médicamenteuse à l instant t 0 (t en heures). Le principe actif se diffuse dans le sang puis est progressivement éliminé. Le médicament est efficace tant que la concentration du principe actif est supérieure à 25 mg. L

.

Pour tout t de l intervalle [0 6], la concentration du principe actif dans le sang du malade, en mg. L

est donnée par c (t) t

12t² 36 t. On donne ci-dessous la courbe de la fonction c.

1. Développer (t 1)( t² 11t 25).

2. Déterminer l intervalle de temps sur lequel le médicament est efficace. Vérifier graphiquement.

3. On admet que la fonction c est décroissante sur l intervalle [2 6]. Pour tout réel t de l intervalle [2 6], on appelle vitesse d élimination du principe actif à l instant t le nombre v(t) c (t) où c est la fonction dérivée de c sur [2 6]. Cette vitesse s exprime en mg .L

. h

.

a.

A l aide du graphique, et en expliquant, décrire l évolution de la vitesse d élimination sur l intervalle [2 6].

b.

Déterminer par le calcul l instant où la vitesse d élimination est maximale.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°12 1S1.

I.

1. On choisit un joueur au hasard.

- Supposons que le joueur choisisse la porte 1 : Il peut espérer gagner 50 000€.

- Supposons que le joueur choisisse la porte 2 : On note X son gain.

La loi de probabilité de X est donnée par le tableau ci-dessous :

x

200 000 35 000 0

P ( ^{X x}

) 0,1 0,88 0,02

E (X ) 0,1 200 000 0,88 35 000 0,02 0 50 800. Le joueur peut espérer gagner 50 800€.

- Supposons que le joueur choisisse la porte 3 : On note Y son gain.

La loi de probabilité de Y est donnée par le tableau ci-dessous :

y

3 000 000 20 000 0

P ( ^{Y y}

) 0,01 0,94 0,05

E (Y ) 48 800. Le joueur peut espérer gagner 48 800€

On a 48 800 50 000 50 800. Le joueur doit choisir la porte 2 pour avoir la plus grande espérance de gain.

2. On choisit un joueur au hasard et on note X son gain.

A l aide d un arbre (demander si vous n arrivez pas à le construire), on peut déterminer la loi de probabilité de X donnée par le tableau ci-dessous :

x

200 000 35 000 0 50 000 3 000 000 20 000

P ( ^{X x}

) ¹

30

22 75

7 300

1 3

1 300

47 150 E (X ) 149600

3 49 866,67. Le gain moyen par candidat est environ 49 866€67.

II.

1. On peut construire l arbre pondéré suivant :

On peut alors déterminer la loi de probabilité de X donnée par le tableau ci-dessous : Par exemple, P( X 490) P (A V) 0,6 0,5 03.

x

490 390 610 510

P ( ^{X x}

) 0,3 0,3 0,248 0,152

2. E(X ) 492,8. En moyenne, un client dépense 492€80.

3. 492,8 50 24 640. L agence peut espérer un chiffre d affaires de 24 640€.

III.

1. (t 1)( t² 11t 25)

12t² 36

25.

2. On résout c (t) 25.

c (t) 25  t

12t² 36t 25 0  (t 1)(t² 11t 25) 0 d après la question 1.

A

0,6

V 0,5

V 0,5

A

0,4 V

0,62

V 0,38

Signe de t² 11t 25 : 21 donc le trinôme a deux racines qui sont x

11 21

2 3,21 et

x

11 21

2 7,79 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines.

On peut alors construire le tableau suivant :

t 0 1

11 21

2 6

t 1

(

1)(

25)

Ainsi, c(t) 25 ssi 1 t 11 21

2 . Le médicament est efficace entre 1 heure et environ 3h13min après son injection.

Graphiquement, la courbe de c semble être au dessus de la droite d équation y 25 lorsque x  [1 3,2]

3.

a.

Lorsque x varie de 2 à 4, les tangentes semblent "de plus en plus verticales" donc c (t) diminue et donc c (t) augmente.

Lorsque x varie de 4 à 6, les tangentes semblent "de moins en moins verticales" donc c (t) augmente et donc c (t) diminue

On peut donc conjecturer que la vitesse d élimination augmente sur l intervalle [2 4] et diminue sur l intervalle [4 6].

b.

Pour tout x de [2 6], v (t) c (t) 3t² 24 t 36.

v est une fonction trinôme. Le coefficient de t² est 3 0 donc v est croissante puis décroissante sur . On peut construire son tableau de variation :

x 2 4 6 24

6 4 et v(4) 12

variations de v 12

0 0

La vitesse d élimination est maximale 4 heures après l injection. Elle est alors de 12 mg.

.