() () () () () () () () () () DEVOIR A LA MAISON N°2. Term Spé.

DEVOIR A LA MAISON N°2. Term Spé.

Pour le I. A RETENIR

Soient f la fonction définie par f(x) x 6

x 4 et

( )

^un la suite définie pour tout n de * par u1 2 et un 1

un 6 un 4 .

1. Construire le tableau de variation de la fonction f.

2. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite

( )

^{un .}

3. Prouver par récurrence que pour tout n de *, 2 un 1 un 2.

4. En déduire le sens de variation de la suite

( )

^{un .}

II. Déterminer la limite des suites suivantes : 1.

( )

^un définie sur * par un

3cos(2n 5) n²

2.

( )

^vn définie sur par vn n³ 2n² 5n 1 III.

( )

^vn est la suite définie sur par vn

3eⁿ 8e²ⁿ eⁿ e³ⁿ . 1. Montrer que pour tout n de , v_n 3e ⁿ 8

e ⁿ eⁿ 2. Déterminer la limite de la suite

( )

^vn . IV. Pour prendre des initiatives.

( )

^un est la suite définie par u1 0 et, pour tout n 1, un 1

nun

n 1 n.

1. Conjecturer une expression de 3un 1 en fonction de n puis une expression de un en fonction de n.

2. Prouver votre conjecture sur l expression de

( )

^{un .}

3. Déterminer la limite de la suite

( )

^{un .}

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°2. Term Spé

I. A RETENIR

1. f est la fonction définie par f(x) x 6 x 4 . f est définie et dérivable sur \{ 4}.

Pour tout x  4, f (x) 1(x 4) 1( x 6) (x 4)²

x 4 x 6 (x 4)²

2

(x 4)² 0. On a donc le tableau suivant :

x 4 2

(x 4)² signe de f (x) variations de f

2. La suite semble être décroissante et converger vers 2.

3. On remarque que, pour tout n de *, un 1 f

( )

^{un .}

Initialisation : pour n 1 : u1 2 et u2

2 6 2 4

4

3 donc on a bien 2 u2 u1 2.

La propriété est vraie pour n 1.

Hérédité : soit p un entier tel que 2 u_{p 1} u_p 2. Montrons que 2 u_{p 2} u_{p 1} 2.

On a 2 up 1 up 2 donc f( 2) f

(

^up 1

)

f

( )

^up f(2) car f est croissante sur [ 2 2]

Or f( 2) 2 ; f

(

^{up 1}

)

^{up 2 ; f}

( )

^{up up 1 et f(2) 4}

3. Ainsi, 2 up 2 up 1

4

3 et donc 2 up 2 up 1 2 Conclusion : pour tout n de *, 2 un 1 un 2.

4. Pour tout n de *, un 1 un donc la suite

( )

^un est décroissante.

II.

1.

( )

^un est définie sur * par un

3cos(2n 5) n²

Pour tout n de *, 1 cos(2n 5) 1 donc 3 3cos(2n 5) 3 donc 3

n² un

3

n² car n² 0 lim

n

3

n² lim

n

3

n² 0 donc, d après le th des gendarmes, lim

n

un 0.

2.

( )

^vn est définie sur par vn n³ 2n² 5n 1 lim

n

n³ et lim

n

2n² donc on a une FI.

Pour tout n de , un n³





1 ²

n 5 n²

1 n³ lim

n

2

n lim

n

5

n² lim

n

1

n³ 0 donc lim

n 

 1 ²

n 5 n²

1 n³ 1 D autre part, lim

n

n³ Alors, par produit, lim

n

un

III.

( )

^vn est la suite définie sur par vn

3eⁿ 8e²ⁿ eⁿ e³ⁿ . 1. Soit n .

vn

e²ⁿ

(

^{3e n 8}

)

e²ⁿ

(

^{e n en}

)

3e ⁿ 8 e ⁿ eⁿ 2. Pour tout n de , vn

3 eⁿ 8 1 eⁿ eⁿ lim

n

eⁿ donc lim

n

3

eⁿ lim

n

1 eⁿ 0 Alors lim

n 

 3

eⁿ 8 8 et lim

n

1 eⁿ eⁿ Ainsi , par quoti ent, lim

n

vn 0.

IV. Pour prendre des initiatives.

( )

^un est la suite définie par u₁ 0 et, pour tout n 1, u_{n 1} nun

n 1 n.

1. 3u₁ 1 3 0 1 1 u2

1u₁

1 1 1 1 0

2 1 1 et 3u2 1 3 1 1 4 u3

2 1

3 2 8

3 et 3u3 1 3 8

3 1 9 u4

3 ⁸ 3

4 3 5 et 3u4 1 3 5 1 16

On peut conjecturer que, pour n *, 3un 1 n² et donc un

n² 1 3 2. Montrons par récurrence que, pour tout n de *, un

n² 1 3 . Initialisation : pour n 1 : u₁ 0 et 1² 1

3 0 donc la propriété est vraie pour n 1.

Hérédité : soit p * tel que up

p² 1

3 . Montrons que up 1

(p 1)² 1

3 .

up 1

pup

p 1 p

p(p² 1) 3

p 1 p p(p² 1) 3p(p 1) 3(p 1)

p³ 3p² 2p 3(p 1) D autre part, (p 1)² 1

3

p² 2p 3

(p² 2p)(p 1) 3(p 1)

p³ 3p² 2p 3(p 1) Ainsi, u_{p 1} (p 1)² 1

3

Conclusion : pour tout n de *, u_n n² 1 3 . 3. lim

n

n² donc lim

n

un .