DEVOIR A LA MAISON N°5. TS1. Pour le vendredi 14 octobre 2016 I.

DEVOIR A LA MAISON N°5. TS1.

Pour le vendredi 14 octobre 2016 I. Dresser, en justifiant tout, le tableau de variations complet (avec les limites) des fonctions suivantes.

1. f définie par f(x) x 2 x² 9 . 2. g définie par g(x) 8x 7 4x 1

II. Déterminer, en justifiant, les limites suivantes : 1. lim

x

x 5 x² x 2. lim

x

x 2cos( x 2) 3. lim

x

cos  

  2 x 3

x 1 4. lim

x 3

x 1 x 3

III. Dans un repère, on donne A( 1 ; 2), B(3 ; 5), C(2 ; 1) et u ( 2 ; 5).

1. Déterminer une équation de la droite (AB).

2. Déterminer une équation de la droite D ₁ parallèle à (AB) passant par C.

3. est la droite passant par C et de vecteur directeur u . a. Déterminer une équation de la droite

b. Montrer que la droite coupe [ AB] en son milieu.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°5. TS1 I. Dresser, en justifiant tout, le tableau de variations complet (avec les limites) des fonctions suivantes.

1. x ² 9 0  x 3 ou x 3 donc f est définie et dérivable sur \{ 3 3}.

f (x ) 1(x² 9) ( x 2)2 x (x ² 9) ²

x ² 4 x 9 ( x² 9) ²

Signe de x² 4x 9 : 20 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 1 0.

Etude des limites en + et : lim

x

f (x ) lim

x

x

x² lim

x

1

x 0. De même lim

x

f( x) 0.

Etude des limites en 3 : lim

x 3

x 2 1 et lim

x 3

x ² 9 0 donc lim

x 3

f (x ) . lim

x 3

x 2 1 et lim

x 3

x ² 9 0 donc lim

x 3

f( x) . Etude des limites en 3 :

lim

x 3

x 2 4 et lim

x 3

x ² 9 0 donc lim

x 3

f( x) . lim

x 3

x 2 4 et lim

x 3

x ² 9 0 donc lim

x 3

f( x) . On peut alors construire le tableau de variations suivant :

x 3 3 + x ² 4x 9

(x ² 9) ² + + +

f ( x)

f 0

+

+

0 2. 4 x 1 0  x 1

4 . g est définie et dérivable sur \

 



 

1 

4 . g définie par g( x) 8x 7

4x 1 . g (x ) 8(4 x 1) 4(8 x 7)

(4 x 1)²

36 (4 x 1) ² 0 Etude des limites en + et :

lim

x

f (x ) lim

x

8 x

4 x lim

x

2 2. De même lim

x

f (x ) 2.

Etude des limites en : lim

x ¹

4

8 x 7 9 et lim

x ¹

4

4x 1 0 lim

x ¹

4

g (x ) . lim

x ¹

4

8 x 7 9 et lim

x ¹

4

4x 1 0 donc lim

x ¹

4

g( x) . On peut alors construire le tableau de variations suivant :

x 1/4 + g’(x)

g 2

+

2 II. Déterminer, en justifiant, les limites suivantes :

1. lim

x

x 5

x² x lim

x  

  x

x ² lim

x

1

x 0 et lim

X 0

X 0 donc lim

x

x 5 x² x 0.

2. Pour tout x de , cos( x 2) 1 donc x 2cos( x 2) x 2. Or lim

x

x 2 donc

Signe de x ² 9 :

x 3 3

x ² 9 + +

Signe de 4 x - 1 :

x 1/4

4 x - 1 +

lim

x

x 2cos( x 2) d après les th de comparai son.

3. lim

x

 

  2 x 3

x 1 lim

x

2 x

x lim

x

2 2 et lim

x 2

cos(x) 1 donc lim

x

cos

 

  2 x 3

x 1 1.

4. lim

x 3

x 1 4 et lim

x 3

x 3=0 ⁺ donc lim

x 3

x 1

x 3 et lim

X

X donc

lim

x 3

x 1

x 3 .

III. Dans un repère, on donne A( 1 ; 2), B(3 ; 5), C(2 ; 1) et u ( 2 ; 5).

1. M(x ; y)ϵ (AB) AM et AB sont colinéaires. On a AM (x + 1 ; y 2) et AB (4 ; 3).

3(x + 1) 4(y 2) 0 3x 4y + 11 0.

(AB) a pour équation 3x 4y + 11 0.

2. D 1 est parallèle à (AB) donc D 1 a pour équation 3x 4y + c 0 où c est un réel.

C est un point de D ₁ donc 3 2 4 1 + c = 0, c'est-à-dire c 2.

D 1 a pour équation 3x 4y 2 0.

3. est la droite passant par C et de vecteur directeur u .

a. a pour vecteur directeur u ( 2 ; 5) donc a une équation de la forme 5x + 2y + c 0 où c est un réel.

C est un point de donc 5 2 + 2 1 + c 0, c'est -à-dire c 12.

a pour équation 5 x + 2y 12 0.

b. Soit I le milieu de [AB]. On a I

 

  1 ⁷

2 . Vérifions que I est un point de : 5 1 + 2 7

2 12 = 5 + 7 12 = 0 donc I est un point de .

Ainsi, la droite coupe [AB] en son milieu I.