DEVOIR A LA MAISON N°7. TS1. Pour le vendredi 18 novembre 2016 I.

DEVOIR A LA MAISON N°7. TS1.

Pour le vendredi 18 novembre 2016

I.

Partie A

Soit  

la suite définie par son premier terme

et, pour tout entier naturel n, par la relation

(a et b réels non nuls tels que

).

On pose, pour tout entier naturel n,

n n 1 v u b

  a



.

1. Démontrer que, la suite  

est géométrique de raison a.

2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]–1 ; 1[, alors la suite  

a pour limite

1 b

a

. Partie B

En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.

Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.

1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016, avant que Max ne la taille ?

2. Pour tout entier naturel n, on note h

la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015+n).

a. Justifier que, pour tout entier naturel n,

.

b. Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite  

. Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

c. La suite  

est-elle convergente ? Justifier la réponse.

II. Les pages d’un livre de moins de 200 pages sont toutes numérotées. Lou a additionné tous les numéros des pages mais elle s’est trompé : elle a compté une page deux fois et a trouvé 3 524.

Le but de l exercice est de déterminer quelle page a été comptée deux fois et combien de page s possède le livre au total.

1. On note n le nombre de pages du livre et k le numéro de la page comptée deux fois. Montrer que n² n 2k 7048.

2. En déduire que 2819 3 8k est un nombre entier.

3. Recopier et compléter l algorithme suivant qui permet de déterminer les valeurs de k inférieures à 200 telles que 2819 3 8k soit un nombre entier :

Pour k allant d e … . à ……

D prend l a v aleu r ……… ……… . Si Ent (D ) D

Afficher …..

Fin Si Fin Pour

4. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice ou sur un ordinateur et donner les valeurs de k obtenues.

5. Répondre au problème.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°7. TS1

Partie A

1. Soit n un entier naturel.

v

u

b

1 a au

b b

1 a a  

  un b

a

b

a(1 a ) a

 

  u

a(1 a)

a  

  u

a(1 a)

a  

  u

1 a

av

. Ainsi, la suite  

est géométrique de raison a.

2. Alors, pour tout n de , v

v

a

et u

v

b

1 a v

a

b 1 a . Si a appartient à l’intervalle ]–1 ; 1[, alors lim

n

a

0 et donc lim

n

u

b 1 a Partie B

1. Enlever 1/4 revient à multiplier par 0,75.

0,75 80+30=90. La hauteur de la plante en mars 2016, avant que Max ne la taille sera 90 cm.

a. Enlever 1/4 revient à multiplier par 0,75 donc, pour tout entier naturel n,

. b. La suite ( ) h

semble croissante.

Prouvons- le en montrant par récurrence que, pour tout n de , h

h

. Initialisation : pour n

0 : h

80 et h

90 donc h

h

.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que h

h

. Montrons que h

h

. h

h

donc 0,75h

0,75h

car 0,75 0

donc 0,75h

30 0,75h

30 donc h

h

Conclusion : pour tout n de , h

h

. La suite ( ) ^h

est donc croissante.

c. D après la partie A avec a 0,75 et b 30, la s uite ( ) ^h

est convergente, de limite b

1 a

30

1 0,75 120.

I.

1. On note n le nombre de pages du livre et k le numéro de la page comptée deux fois.

On a alors 1 2 3 … ( n 1) n k 3524.

D après le cours de première, 1 2 3 … ( n 1) n n(n 1) 2 . Ainsi, n(n 1)

2 k 3524

Alors n² n 2k 7048.

2. Le trinôme x ² x 2k 7048 admet n comme racine.

1 4 1 (2k 7048) 28193 8k . Les racines du trinôme sont 1

2 et 1

2 et n est la racine positive donc n 1

2 . Ainsi, 2n 1 est un nombre entier, c'est-à-dire 2819 3 8 k est un nombre entier.

3.

Pour k al l ant d e 1 à 200

D pr end l a v al eu r 2819 3 8k . Si Ent (D ) D

Afficher k Fin Si

Fin Pour

4. On obtient k 38 et k 121.

5. Si k 38, 167 et n 83.

Si k 121, 165 et n 82 ce qui est impossible car k n .

On peut donc conclure que le livre possède 83 pages et que Lou a compté deux fois la page 38.