DEVOIR A LA MAISON N°6. TS1. Pour le mercredi 13 novembre 2019. I.

v DEVOIR A LA MAISON N°6. TS1.

Pour le mercredi 13 novembre 2019.

I. On considère l équation (E ) : x ³ 36x 91 étudiée dans l activité d introduction.

Le but de cet exercice est de comprendre comment Cardan a déterminé la formule : x = ^ q

 + q²

 − p ^

 + ^ q

 − q²

 − p ^

 .

Pour cela, on cherche une solution de la forme u v où u et v sont des réels.

1. Montrer que si x u v , alors x ³ u ³ v ³ 3uvx 2. En déduire que si on trouve u et v tels que

 

 u ³ v ³ 91

uv 12 , alors x u v est solution de l équation (E).

3. On pose U u ³ et V v ³ . Montrer que

 

 u ³ v ³ 91 uv 12 

 

 U² 91U 12 ³ 0

V 91 U .

4. En déduire les couples (U V ) puis les couples ( u v ) possibles. En déduire une solution de (E ).

II. Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct.

Pour tout nombre complexe z 2, on pose z z 3 i

z 2 . On note A le point d affixe 2.

1. En posant z x iy où x et y sont des réels, déterminer la forme algébrique de z . 2. Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que z soit un réel.

3. Déterminer de même l ensemble des points M d affixe z tels que z soit un imaginaire pur.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 6. TS1.

I.

1. Si x u v, x ³ ( u v) ³ u ³ 3u² v 3 v² u v ³ u ³ v ³ 3 uv (u v ) x ³ u ³ v ³ 3uvx.

2. Si u ³ v ³ 91 et uv 12 et si on pose x u v , alors

x ³ (u v ) ³ u ³ v ³ 3uvx 91 3 12 x 91 36 x et x est donc solution de l équation (E) : x ³ 36x 91

3. On a U u ³ et V v ³ .

 

 u ³ v ³ 91 uv 12 

 

 U V 91 ( uv) ³ 12 ³ 

 

 V 91 U UV 12 ³ 

 

 V 91 U

U(91 U ) 12 ³ 

 

 V 91 U

U² 91U 12 ³ 0

4. On résout U² 91U 12 ³ 0 : 1369 donc le trinôme a deux racines : U ₁ 64 et U ₂ 27.

Alors

 

 V 91 U

U² 91U 12 ³ 0  ( U 64 et V 91 64 27) ou (U 27 et V 91 27 64).

Le système a deux couples solutions qui sont (64 27) et (27 64).

 

 u ³ 64 v ³ 27 

 

 u 4

v 3 et    u ³ 27 v ³ 64 

 

 u 3 v 4.

Les couples (u v ) possibles sont (3 4) et (4 3).

D après la question 2, x 3 4 7 est une solution de (E).

II. Pour tout nombre complexe z  2, on pose z z 3i z 2 . 1. On pose z x iy où x et y sont des réels.

Alors z x iy 3 i x iy 2

(x iy 3i )(x 2 iy ) (x 2 iy )( x 2 iy)

x² 2 x ixy ixy 2 iy y² 3ix 6i 3 y (x 2)² y²

z x ² 2x y² 3 y

( x 2)² y² i 3x 2y 6 (x 2)² y² .

2. z est un réel ssi sa partie imaginaire est nulle ssi 3x 2 y 6 0 et z  2 Soit D la droite d équation 3x 2 y 6 0.

z est un réel ssi M appartient à la droite D et M  A.

A est le point d affixe 2 et a donc pour coordonnées ( 2 0).

3 ( 2) 2 0 6 0 donc A est un point de D.

Ainsi, l ensemble des points M d affixe z tels que z soit un réel est la droite D d équation 3x 2y 6 0 privée du point A.

3. z est un imaginaire pur ssi sa partie réelle est nulle

ssi x² 2x y ² 3 y 0 et z  2 x² 2x y² 3 y 0  ( x 1)² 1

 

  y ³

2

2 9

4 0  ( x 1)²  

  y ³

2

2

 

  13 2

2

x² 2x y² y 0 est une équation du cercle de centre I

 

 

1 ³

2 et de rayon 13 2 . z est un imaginaire pur ssi M est un point de et M  A

( 2)² 2 2) 0² 3 0 0 donc A est un point du cercle .

Ainsi, l ensemble des points M d affixe z tels que z soit un imaginaire pur est le cercle de centre I

 

 

1 ³

2 et de rayon 13

2 privé du point A.