() () DEVOIR A LA MAISON N°5. TS3.

DEVOIR A LA MAISON N°5. TS3.

Pour le mercredi 15 octobre 2014 I. Soit la suite ( ) ^{u n} définie par u 0

1

4 et u n 1 u n ² u n pour tout n de . 1. Etudier le sens de variation de la suite ( ) ^u n .

2. Soit f la fonction définie sur par f( x) x ² x.

a. Déterminer les limites de f en et + . b. Construire le tableau de variation de f.

c. Calculer f( 1) et f (0).

d. Montrer par récurrence sur n que, pour tout n de , 1 u n 0.

II. Voici un algorithme : 1 demander n 2 i prend la valeur 1 3 P prend la valeur 1 4 tant que i n

5 P prend la valeur P i 6 i pr end la valeu r i + 1 7 Fin tant que

8 Afficher P

1. Construire la table d exécution si on entre n = 5.

2. Expliquer par une phrase ce que fait l algorithme.

3. Ecrire un algorithme donnant le même résultat en utilisant une boucle Pour.

III. Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : z 1 (2 3i )

z 2

5 1 0i 4 3 i z 3 (1 i )z 1 2 z 2

z 4 z 1 3

z ₅ z ₁ z ₁ z ₆ z ₄ z 7  z 1 

3

z 8

1 z 1

.

IV. Pour tout nombre complexe z différent de 2, on pose f (z ) z i z 2 .

1. Déterminer l image par f de 2i . Donner le résultat sous forme algébrique.

2. Déterminer les antécédents éventuels par f de i. Donner le(s) résultat(s) sous forme algébrique.

3. Soit z x iy un nombre complexe différent de 2. Exprimer en fonction de x et y les parties

réelles et imaginaires de f (z ).

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°5. TS

I. Soit la suite ( ) ^u n définie par u ₀ 1

4 et u _{n 1} u _n ² u _n pour tout n de . 1. Soit n un entier naturel.

u n 1 u n = u n ² u n u n = u n ² 0 car le carré d un réel est toujours positif ou nul. La suite ( ) ^{u n est}

donc croissante.

2. Soit f la fonction définie sur par f( x) x ² x.

a. lim

x

f( x) lim

x

x² et lim

x

f (x ) lim

x

x ²

b. f est une fonction polynôme de degré 2. Le coefficient de x ² est 1 > 0 donc f est décroissante puis croissante. Elle atteint son minimum en x b

2a 1

2 . Ce minimum est f

 

  1 2

1 4 . On a donc le tableau de variation :

x 1 1

2 0 + f( x)

+ + 1

4 c. f ( 1) 0 et f (0) 0

d. Initialisation : pour n 0 0 : u 0

1

4 et 1 1

4 0 donc la propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que 1 u p 0. Montrons que 1 < u p 1 0.

On a 1 u p 0 donc d après le tableau de variation, Or 1 < 1

4 et f ( ) ^{u p u p 1} donc on a 1 u p 1 0.

Conclusion : Pour tout n de , 1 u n 0.

II.

1.

ligne n i P fin de la boucle ?

1 5

2 5 1

3 5 1 1

4 1 < 5 donc non

5 5 1 1

6 5 2 1

7 2 < 5 donc non

5 5 2 2

6 5 3 2

7 3 < 5 donc non

5 5 3 6

6 5 4 6

7 4 5 donc non

5 5 4 24

6 5 5 24

7 5 5 donc non

5 5 5 120

6 5 6 120

7 6 > 5 donc oui

Affichage

120

2. L algorithme calcule le produit de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n : 1 2 3 ... n. Ce nombre se note n ! et se lit "factorielle n".

3.

1 demander n

2 P prend la valeur 1 3 Pour i allant de 1 à n 4 P prend la valeur P i 5 Fin pour

6 Afficher P III.

z ₁ (2 3i ) est déjà sous forme algébrique.

z 2

5 10 i

4 3i = (5 10 i)(4 3 i)

(4 3i )(4 3i ) = 20 15i 40i 30

16 9 = 50 25 i

25 = 2 i.

z ₃ (1 i )z ₁ 2 z ₂ = (1 i)(2 3 i) 2(2 i) 2 3 i 2 i 3 4 2 i 9 3 i.

z ₄ z ₁ ³ = (2 3i ) ³ 2 ³ 3 2² 3 i 3 2 (3i )² (3i) ³ = 8 36i 54 27 ( i ) = 46 9i z 5 z 1 z 1 = (2 3 i)(2 3 i) = 4 (3i )² = 4 + 9 = 13

z 6 z 4 = 46 9 i = 46 9i . z 7  z 1 

3 = z 1

3 = z 4 = z 6 = 46 9 i

z 8

1 z 1

= 1 2 3i

2 3 i (2 3 i)(2 3 i)

2 3 i 13

2 13

3 13 i

IV. Pour tout nombre complexe z différent de 2, on pose f (z ) z i z 2 . 1. f(2 i) 2i i

2i 2

i (2 2i )

(2 2i )(2 2i ) = 2i 2 8 = 1

4 1

4 i . L i mage d e 2i par f est 1 4

1 4 i.

2. On résout l équation f (z ) i . f (z ) i z i

z 2 = i. La valeur interdite est 2.

z i iz 2i z iz 3 i

(1 i )z 3 i

z 3i

1 i = 3i(1 i)

(1 i )( i ) = 3 2

3

2 i. Ce n’est pas une valeur interdite.

i a un unique antécédent par f qui est 3 2

3 2 i.

3. f( z) f ( x i y) x i y i x i y 2

(x iy i )(x 2 i y) (x 2 iy )(x 2 i y) x² 2x ixy i yx 2i y y² i x 2i y

(x 2)² y² x ² 2x y² y

( x 2)² y ²

2y x 2 (x 2)² y² i.

La partie réelle de f (x ) est x² 2x y ² y

( x 2)² y ² et la partie imaginaire de f( x) est 2y x 2

(x 2)² y² .