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P ROBABILITÉS :
CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE
P ROBABILITÉS :
CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE
Il n'y a rien de plus triste qu'une vie sans hasard.
Honoré de Balzac
La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l'étude d'expériences dont le résultat est le fruit du hasard. Une telle expérience est appelée expérience aléatoire.
En voici des exemples : le lancer d'un dé, un prélèvement de n objets en sorties d'une chaîne de production, un lancer de pièce de monnaie, durée de vie d'un appareil électronique, temps d'attente dans une le, lancer de échette sur une cible, mouvement d'un grain de pollen dans un liquide, mélange de deux gaz, . . .
1 R
APPELSOn considère une expérience aléatoire. On appelle : éventualité : tout résultat possible de cette expérience.
univers : l'ensemble de toutes les éventualités. On le note souvent Ω. événement : tout sous-ensemble de l'univers.
événement élémentaire : tout événement ne contenant qu'une éventualité.
Dénition 1.
Exemple 1
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l'univers est l'ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensembles A={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5}sont des événements.
Les événements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
LYCÉEBLAISEPASCAL
1
S.DELOBEL M.LUITAUD
On considère une expérience aléatoire et on considère un événementA, et un événement B. On appelle :
événement contraire deAl'événement notéA, constitué des éléments deΩn'appar- tenant pas àA.
événement AetB l'événement notéA∩Bconstitué de l'intersection des ensembles AetB, c'est-à-dire de tous les éléments communs àA et à B.
événement A ouB l'événement notéA∪B constitué de la réunion deAavec B, c'est-à-dire l'ensemble de tous les éléments collectés dansAou1dansB.
Dénition 2.
Complémentaire de A dansΩ colorée en rouge foncé
A
A
Intersection de A et B colorée en rouge foncé
A∩B
Réunion de A et B colorée en rouge foncé
A∪B
Exemple 2
On reprend les données de l'exemple 1. On a alors :
A={2 ; 4 ; 6} B ={1 ; 6} A∩B={3 ; 5} A∪B ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
On note Ωl'univers d'une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , enles éventualités.
Dénir une probabilité P surΩc'est associer à toute éventualité ek un réel dans[0 ; 1]
notéP({ek}) de telle sorte que : 1. P(Ω) = 1.
2. P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej}) quelque soitei etej. Dénition 3.
Toute probabilité vérie les propriétés suivantes : 1. P() = 0
2. P(Ω) = 1
3. P(A) = 1−P(A)
4. P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) Proposition 4.
Voir un cours de Première.
Preuve
1. Ce ou n'est pas exclusif ! Il ne signie pas ou bien .
On est en situation d'équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c'est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej})quelque soit les événements élémentaires ei etej. On dit aussi queP suit la loi équirépartie.
Dénition 5 (Équiprobabilité).
En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est égale à : P(A) =nombre d'éléments de A
nombre d'éléments deΩ = nombre de cas favorables nombre total de cas Théorème 6.
Exercice 1
Dans un collège, les 100 élèves de troisième sont répartis selon leur seconde langue vivante comme le montre le tableau suivant :
allemand espagnol total
garçons 18 22 40
lles 33 27 60
total 51 49 100
Une expérience aléatoire consiste à prendre un élève au hasard. On modélise cette expérience par la loi équirépartie sur l'ensembleΩ des 100 élèves.
Notons A l'événement : l'élève étudie l'allemand etF : l'élève est une lle . 1. Quelle est la probabilité que l'élève pris au hasard soit une lle ?
2. Quelle est la probabilité que l'élève pris au hasard soit une lle germaniste ?
3. Quelle est la probabilité que l'élève pris au hasard soit un garçon ou fasse de l'allemand ?
2 V
ARIABLES ALÉATOIRESDénir une variable aléatoire Xc'est associer une valeur réelle2 xi à chaque éventualité ei d'une expérience aléatoire.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X, c'est donner pour chaque valeur xi prise par X la probabilité pi de l'événement X =xi. On la présente généralement sous forme d'un tableau.
Dénition 7.
k x1 x2 · · · xn
P(X=k) p1 p2 · · · pn
Loi de X
2. comme par exemple le nombre de points obtenus lors d'un lancer de dé, le gain du joueur dans un jeu d'argent, . . .
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer diérents paramètres3 :
l' espérance mathématique, notéeE(X) est égale à : E(X) =X
(pixi) la variance, notéeV(X)est égale à :
V(X) =X
pi(xi−E(X))2 ou encore V(X) =X
(pix2i)−(E(X))2 C'est cette deuxième formule (formule de Huyghens) qu'on utilise le plus souvent.
l'écart-type, notéσ(X) est égal à :
σ(X) =p V(X)
Pour la signication de ces paramètres, consulter un cours de Première.
Dénition 8.
Exercice 2
On dispose de deux urnes : la première contient 3 jetons blancs et 2 noirs, la seconde contient 1 jeton blanc et 2 noirs. Les jetons sont indiscernables au toucher.
Un joueur mise 5 euros et tire au hasard un jeton dans chaque urne. Il gagne 6 euros si les deux jetons sont blancs, 8 euros si les deux jetons sont noirs, et 2 euros si les jetons sont de couleurs diérentes.
On note X la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain algébrique (le gain moins la mise) du joueur.
Déterminer la loi de probabilité deX, puis calculer l'espérance mathématique, et l'écart-type de la loi de X. Le jeu est-il équitable ?
3 P
ROBABILITÉS CONDITIONNELLES 3.1 DéfinitionComment doit-on modier la probabilité que l'on attribue à un événement lorsqu'on dispose d'une information supplémentaire ? Le concept de probabilité conditionnelle permet de répondre à cette question.
Exemple 3
Reprenons l'énoncé de l'exercice1.
Quelle est la probabilité qu'un élève lle pris au hasard étudie l'allemand ? On dispose ici d'une information supplémentaire : on sait que l'élève choisi est une lle.
Seule la ligne lles du tableau est utile : on change d'univers.
La probabilité cherchée, notéePF(A), est donc : nombre d'éléments de(A∩F) nombre d'éléments de F . Remarquons que l'on peut aussi écrire : PF(A) =PP(A∩F(F)).
Dans notre exemple, PF(A) = 3360.
Par analogie, nous allons maintenant donner une dénition générale de ce concept.
3. comme on le fait pour une série statistique avec la moyenne, l'écart-type, la médiane, . . .
Soient AetB deux événements, avecA de probabilité non nulle.
La probabilité de B sachant que A est réalisé (on dit probabilité de B sachant A) est le nombre réel, noté PA(B), déni par :
PA(B) = P(A∩B) P(A) . Dénition 9 (Probabilités conditionnelles).
En général :PA(B)6=PB(A). Notons par contre queP(A∩B) =P(B∩A).
Ce qui fait l'intérêt du concept de probabilité conditionnelle, c'est qu'il est souvent bien plus facile d'attribuer directement une valeur àPA(B)en tenant compte des conditions expérimentales (liées à l'information A) et d'en déduire ensuite la valeur de P(A∩B). Il est très pratique pour cela de remanier la dénition ci-dessus et de représenter la situation par un arbre pondéré :
SoientAetB deux événements de proba- bilité non nulle. On a4 :
P(A∩B) =PA(B)×P(A)
Proposition 10. A
B P(A∩B)
PA(B)
B P A∩B
PA B P(A)
A
B P A∩B
PA(B)
B P A∩B
PA B P A
La probabilité de l'intersection de deux (ou plusieurs...) événements est égale au produit des probabilités des branches du chemin passant par ces événements.
Méthode 11 (Utilisation d'un arbre pondéré pour les calculs de probabilités).
En traduisant un énoncé, attention à ne pas confondreP(A∩B) avec PA(B)!
Exercice 3
Une société comprend 40 % de cadres, 20 % d'entre eux parlent anglais.
On interroge au hasard un employé de la société et on considère les événements : C : l'employé interrogé est un cadre.
A : l'employé interrogé parle anglais
Après avoir évidemment traduit les données de l'énoncé, calculer la probabilité que l'employé interrogé soit un cadre qui parle anglais.
Exercice 4
Une urne contient 3 boules rouges et 5 boules vertes indiscernables au toucher. On en tire au hasard deux l'une après l'autre, sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux rouges ?
4. ...ou aussi :P(A∩B) =PB(A)×P(B).
3.2 Formule des probabilités totales
Dire que les événements A1, A2, . . . , An forment une partition de Ω signie que les ensembles Ai sont deux à deux disjoints5et que leur réunion estΩ. C'est-à-dire :
pour tous i6=j on a :Ai∩Aj = et A1∪A2∪ · · · ∪An= Ω. Dénition 12.
A1 A2 A3 A4
Soit A1, A2, . . . , An une partition de Ω. Alors pour tout événement B on a : P(B) =P(B∩A1) +P(B∩A2) +. . .+P(B∩An) ou encore :
P(B) =PA1(B)×P(A1) +PA2(B)×P(A2) +. . .+PAn(B)×P(An) Théorème 13 (Formules des probabilités totales).
Les événementsB∩A1, B∩A2, . . . , B∩An sont deux à deux incompatibles et leur réunion est B. La formule en découle.
Preuve B
La probabilité d'un événementB écrit aux extrémités de plusieurs chemins d'un arbre pondéré est la somme des probabilités des chemins qui conduisent à B.
Méthode 14 (Traduction de la formule des probabilités totales sur l'arbre pondéré).
Exercice 5
On dispose d'une pièce de monnaie truquée et de deux urnes U1 et U2. U1 contient 4 boules rouges et 3 vertes. U2 contient 2 boules rouges et 1 verte. La pièce de monnaie est truquée de telle manière que l'on ait une chance sur trois d'obtenir pile.
On lance la pièce : si on obtient pile on tire une boule au hasard dans l'urne U1 sinon dans l'urneU2.
Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ?
5. disjoints est synonyme d'incompatibles.
Exercice 6 Inverser un arbre de probabilités
Une société eectue auprès de 10000 personnes une étude de marché concernant un nouveau produit. Dans cet échantillon, 40 % sont des moins de 20 ans (on les qualiera de jeunes ) et 20 % de ceux-ci se déclarent intéressés par le produit. En revanche, 10 % seulement des personnes de plus de 20 ans se déclarent intéressés par le produit.
On prend une personne au hasard dans l'échantillon. On note J l'événement la personne est jeune et I l'événement la personne est intéressée .
1. Compléter l'arbre de probabilités suivant.
J
I
I 0,4
J
I
I 2. a. CalculerP(J∩I), P(J∩I), P(J∩I),etP(J ∩I).
b. CalculerP(I).
3. a. Calculer la probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant qu'elle est intéresée par le produit.
b. Compléter l'arbre de probabilités suivant. Calculer les probabilités devant gurer sur chacune de ses branches.
I
J
J
I
J
J
Exercice 7 Un test sanguin
Un test sanguin a une probabilité de 0,95 de détecter un certain virus lorsque celui ci est eecti- vement présent. Il donne néanmoins un faux résultat positif pour 1% des personnes non infectées.
Si 0,5 % de la population est porteuse du virus, quelle est la probabilité qu'une personne ait le virus sachant qu'elle a un test positif6?
3.3 Événements indépendants
SoientAetB deux événements de probabilité non nulle. Il arrive que la connaissance de la réali- sation deAne modie pas notre information sur celle deB, autrement dit quePA(B) = P(B). On dit alors que A etB sont indépendants.
Remarquons que cela peut s'écrire aussi P(A∩B) =P(A)×P(B). On prendra pour dénition générale la dénition suivante.
6. Après avoir résolu l'exercice, on remarquera que contrairement à ce qu'on aurait pu croire le test n'est pas able. En eet : si la personne présente un test positif, la probabilité qu'elle ne soit pas porteuse du virus est deux fois plus élevée que celle qu'elle le soit !
Deux événementsA etB sont dits indépendants lorsque : P(A∩B) =P(A)×P(B) Dénition 15.
Deux événementsAetBde probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si : PA(B) =P(B)
ou encore si et seulement si :
PB(A) =P(A) Proposition 16.
Facile et à faire ! Preuve
Ne pas confondre événements incompatibles7et événements indépendants.
Par exemple, lorsqu'on lance deux fois le même dé. Les événements obtenir un chire pair au premier lancer et obtenir un 1 au deuxième lancer sont indépendants (mais pas incompatibles).
Exercice 8
Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une au hasard et on considère les événements A : tirer un nombre pair et B : tirer un multiple de 3 .
Grâce à un calcul de probabilité, dire si les événements A etB sont indépendants ou non.
On ajoute maintenant dans l'urne une boule numérotée 13 et on recommence l'expérience. Même question8.
Si A etB sont indépendants, il en est de même pourA et B, pour A etB et pour A etB.
Proposition 17.
À faire. On pourra utiliser la dénition15.
Preuve
7. Rappel : deux événementsAetB sont incompatibles lorsqueA∩B=∅.
8. Un peu de réexion permet de relier ces résultats calculatoires avec la notion intuitive d'indépendance. Dans le premier cas, la proportion des multiples de trois parmi les pairs est la même que parmi les impairs. Le fait de savoir que la boule tirée est paire ne modie en rien notre information surB. Par contre dans le deuxième cas, l'ajout de la treizième boule modie la proportion des multiples de trois : elle est plus élevée chez les pairs que chez les impairs. Donc le fait de savoir que la boule tirée est paire augmente un peu la probabilité que nous pouvons attribuer àB.
