CONTRÔLE TS.
CORRECTION
I.
1. a 3
cos
2 isin
2 ; b 2(cos( ) isin( )) ; c 2
cos
4 isin
4 ; 2. d 2(1 i) b c.
| |d |bc| | |b c 2 2
arg(d) arg(bc) arg(b) arg(c)
4 5
4 Donc d 2 2
cos
5
4 isin
5
4 3. e 3ei7.
II.
1. z1
z2
3 3i 4 3 4i
( 3 3i)(4 3 4i) (4 3 4i)(4 3 4i)
12 3 12 64
12 12 3 64 i z1
z2
3 3 3 16
3 3 3
16 i. La forme algébrique de z1
z2
est 3 3 3 16
3 3 3 16 i.
2. | |z1 3 2 (diagonale d un carré de côté 3) et graphiquement arg( ) 3
4 (2 ).
La forme exponentielle de z1 est 3 2e
3i 4
| |z2 (4 3)2 42 8
Soit un argument de z2. cos( ) 4 3
8
3
2 et sin( ) 4 8
1
2 donc π 6 (2 ) La forme exponentielle de z2 est 8e
i 6. 3. z1
z2
3 2e
3i 4
8e
i 6
3 2
8 ei( 34 6) 3 2
8 ei( 1112 ).
La forme exponentielle de z1
z2 est 3 2 8 e
11i 12 .
4. cos
11
12 cos
arg
z1
z2
Re
z1 z2
z1
z2
3 3 3 16 3 2
8
1 3
2
2 6
4
cos
12 cos
11
12 cos
11 12
2 6
4 5. (OB OA) arg
zA zO
zB zO
arg
z1 0
z2 0 arg
z1
z2
donc (OB OA) 11
12 . 6. Soit (E) l ensemble cherché.
M(z) (E) ssi |z 2 i| 4
ssi |z (2 i)| 4
ssi |zM zC| 4
ssi C M 4
(E) est le cercle de centre C et de rayon 4.
III.
a. arg
zC zA
zB zA
(AB AC)
3 car ABC est équilatéral direct.
zC zA
zB zA
AC
AB 1 car ABC est équilatéral.
b. D après la question 1, zC zA
zB zA
1e
i
3 cos
3 isin
3
1 2
i 3 2 . La forme algébrique de zC zA
zB zA
est 1 2
i 3 2 . c. zC zA
zB zA
1 2
i 3
2 donc zC
1
2
i 3
2 (zB zA) zA 12 i23(1 3i) 1
zC
3 3 3 2
3 3 3
2 i
IV.
Partie A.
On peut construire l arbre pondéré ci-contre :
1. La probabilité que le client choisisse deux moyens de transport différents est
P A R P(A R) P(A) PA( )R P( )A PA(R) p 1
10 (1 p) 7
10 7 10
3 5 p Ainsi 7
10 3
5 p 0,31 donc 3
5p 0,39 donc p 0,65.
2. P
R(A) P(R A)
P( )R
Calculons P( )R : A et A forment une partition de donc, d après la formule des probabilités totales, P( )R P(A) PA( )R P( )A PA( )R 0,65 0,1 0,35 0,3 0,17.
Ainsi , P
R(A) 0,65 0,1 0,17
13
34 0,382.
Lorsqu on choisit au hasard un client qui a fait le retour en train, la probabilité qu il ait fait l aller en bateau est environ 0,382.
3.
a. On répète 20 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir un client et à noter s il utilise les deux moyens de transport. La probabilité qu il utilise les deux moyens de transport est 0,31. Alors X suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,31.
b. D après la calculatrice, P(X 12) 0,005. La probabilité qu’exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents est environ 0,005.
c. P(X 5) 1 P(X 5) 1 P(X 4) 0,791.
La probabilité qu’il y ait au moins 5 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents est environ 0,791.
4.
a. Les valeurs prises par Y sont 3120, 2760 et 2400.
Voici la loi de probabilité de Y :
k 3 120 2 760 2 400
P(Y k) P(A R) 0,65 0,9 0,585
0,31 P A R 0,35 0,3
0,105 b. E(Y) 3120 0,585 5760 0,31 2400 0,105 2932,80.
Sur un grand nombre de clients, le coût moyen d un trajet aller-retour est 2930€80.
A
p
R 9
10
R 1
10
A
1-p R
7 10
R 3
10
Partie B.
1. P(T 12) P(12 T 20) 20 12 20 1
8
19 0,421.
La probabilité d'attendre plus de douze minutes est environ 0,421.
2. E(T) 20 1
2 10,5. Le temps d'attente moyen est 10 minutes et 30 secondes.
Partie C.
On modélise la durée de vie, en années, d un moteur de bateau par une variable aléatoire D suit une loi exponentielle de paramètre . On sait que P(D 8) 0,3.
1. P(D 8)
0
8 e tdt
e t
0 8
e 8 1 1 e 8 0,3 donc e 8 0,7 donc ln(0,7)
8 . Pour la sui te, on prendra 0,045.
2. P(D 10) 1 P(D 10) 1
0
10 e( t)dt 1
e t
0 10
1 (1 e 10 e 0,45 0,638 La probabilité qu un moteur ait une durée de vie de plus de 10 ans est environ 0,638.
3. La probabilité qu un moteur ait une durée de vie d exactement 9 ans et 3 mois est 0.
4. PT 5(D 5 8) P(D 8) car D suit une loi de durée de vie sans vieillissement.
1 P(D 8) 1 0,3 0,7.
La probabilité qu un moteur qui a déjà 5 ans dure encore plus de 8 ans est 0,7.
5. E(T) 1
22,222.
La durée de vie moyenne d un moteur est environ 22 ans.
