Corrigé du devoir commun de mathématiques 1ES/L 2019
Exercice 11.
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 40 % est1 – 40
100 = 0,6 .
Et41,4
0,6 = 69
donc réponse a. (On peut aussi tester les réponses :69 × 0,6 = 41,4
).2.
1 + 20
100
1 – 10
100 = 1,2 × 0,9 = 1,08 = 1 + 8
100 .
Donc réponse c.3. Sur [0 ; 10],
(x) = x² + 5x
3x + 4 ; 3x + 4 ≠ 0 sur [0 ; 10]
doncf (
fonction rationnelle) est dérivable sur [0 ; 10].f (x) = u(x)
v(x) avec u(x) = x² + 5x et v(x) = 3x + 4.
Alorsu'(x) = 2x + 5 et v’(x) = 3.
f ' = u'v – uv'
v² donc f ’(x) = (2x + 5)(3x + 4) – 3(x² + 5x)
(3x + 4)² = 6x² + 8x + 15x + 20 – 3x² – 15x
(3x + 4)² = 3x² + 8x + 20
(3x + 4)² .
Donc réponse c.4. ( ) = 2 + 4 + 2 ; g est dérivable sur IR et ′( ) = 6 ² + 4.
(2) = 2 × 8 + 8 + 2 = 26 et ′(2) = 6 × 4 + 4 = 28.
Alors une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 2 est :
= (2)( − 2) + (2) soit = 28( − 2) + 26 donc = 28 − 30 donc réponse b.
Exercice 2
1. On considère qu’on répète fois, de façon identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli qui consiste pour Martin Fourcade à tirer sur une cible, le succès étant : « Martin Fourcade atteint la cible ».
La variable aléatoire prend comme valeur le nombre de succès à la fin des 20 tirs.
suit donc la loi binomiale de paramètres = et = ( ) = , . 2. ( = !) = " !# , !( − , )!≈ , % .
3. ( = ) = , ≈ , .
4. ( ≥ ') = − ( ≤ )) ≈ , *)).
5. +( ) = 20 × 0,9 = '.
Sur un grand nombre d’épreuves de poursuite, Martin Fourcade réussit en moyenne 18 tirs sur les 20 effectués.
Exercice 3
Partie A :
1.a) Le coût de fabrication de 13 lots est de 8000 €.
b) 10 lots sont fabriqués pour un coût de 2500 €.
2.a) La recette pour 9 lots vendus est de 4000 €.
b) 7 lots sont vendus pour une recette de 3500 €.
c) - est croissante sur .2 ; 101 donc - ′( ) > 0 sur [2 ; 10].
3. a) L'entreprise doit fabriquer et vendre entre 2 et 11 lots pour être bénéficiaire.
b) Le bénéfice paraît maximal pour 8 lots
.
Partie B :
1. est dérivable sur .2 ; 141 et 3 ′(4) = – , *4² + *, *4 – 6, 6.
2. Etudions le signe de ′, qui est une fonction polynôme du second degré.
7 = 6,6² – 4 × (−0,6) × (−14,4) = 9 ; 7 > 0 et Δ = 3 ; d’où les deux racines 9et : de ′ : 9 = – 6,6 – 3 – 1,2 = 8 et : = – 6,6 + 3 – 1,2 = 3.
Le coefficient de ², égal à – 0,6, est négatif donc ′( ) < 0 à l’extérieur des racines et ′( ) > 0 entre les racines. Donc est décroissante sur .2 ; 31 et sur .8 ; 141 et croissante sur .3 ; 81.
x 2 3 8 14 Signe de ′ (x) – 0 + 0 –
Variations de f
12,8 23,6
11,1 – 73,6
3. D'après le tableau de variations de , admet un maximum sur .2 ; 141 égal à 23,6 atteint pour = 8.
Il faut donc fabriquer et vendre ' lots pour obtenir un bénéfice maximal de %* €.
Exercice 4
1. >9= 1200 + 15 = 1215, >:= >9+ 15 = %
@9= 1000 × 1.04 = 1040, @:= @9× 1.04 = ' . *.
2. Pour tout entier naturel A, on a : B C = B + !.
La suite (>D) est donc une suite arithmétique de raison E = ! et de premier terme B = . Pour tout entier naturel A, on a : F C = F × . 6
La suite (@D) est donc une suite géométrique de raison G = . 6 et de premier terme F = .
3. Pour tout entier naturel A, on a : >D= >H+ AI = + ! . Pour tout entier naturel A, on a : @D= @H× JD= × . 6 .
4. B'= 1200 + 15 × 8 = % . Pour la proposition A, le salaire mensuel brut sera de 1320 euros en 2023.
F'= 1000 × 1.04K≈ %* . Pour la proposition B, le salaire mensuel brut sera d’environ 1369 euros en 2023.
5. a) On cherche le plus petit entier naturel A tel que : B > 1400.
>D > 1400 ⇔ 1200 + 15A > 1400 ⇔ 15A > 200 ⇔ > 200/15.
Or :HH9N ≈ 13.33 donc au bout quatorze ans, le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition A dépassera 1400 euros.
b)
6. On a, d’une part, >O= 1290 et @O= 1265.3 (donc B*> F*) et, d’autre part, >P= 1305 et @P= 1315.9 (donc B)< F)).
A partir de , le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition B dépassera celui obtenu avec la proposition A.
