Devoir commun de mathématiques n

Devoir commun de mathématiques n 2 : Seconde Générale Le mercredi 11 avril 2018 – Sujet A

Nom : Prénom : Classe :

Durée de l’épreuve : 1 heure 50 minutes.

Seules les calculatrices mode examen sont autorisées et le mode examen devra être activé pendant l’épreuve.

La qualité de la rédaction et de la présentation entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le sujet comporte 6 exercices indépendants.

LE SUJET SERA RENDU AVEC LA COPIE.

Exercice 1 : / 3 Exercice 2 : / 7 Exercice 3 : / 8 Exercice 4 : / 8 Exercice 5 : / 7 Exercice 6 : / 7

Total : / 40

Exercice 1. (3 points)

On considère les points A, B et C représentés ci-dessous.

Dans tout l’exercice, on laissera les traits de constructions apparents (directement sur le sujet).

• A

• B

• C

1. Construire le point I tel que − →

AI = 2 − − → AB.

2. Construire le point J tel que −→

BJ = − − − → BC.

3. Construire le point K tel que − − → CK = 1

2

− − → CB.

4. Construire le point L tel que −→

AL = − − →

AB − 2 −→

AC.

5. Compléter l’égalité suivante en la simplifiant : − − → AB + −→

BJ = . . . d’après . . . .

Exercice 2. (7 points)

Dans un repère, on considère les points A(2; −5), B (1; 3) et C(−4; −1).

1. Placer ces quatre points dans le repère orthonormé (O; I ; J) ci-dessous :

x y

O I J

2. Calculer les coordonnées des vecteurs − − → AB et −→

AC.

3. En déduire les coordonnées du vecteur − 2 − − →

AB + 3 −→

AC.

4. On note M un point de coordonnées (x; y).

(a) Exprimer les coordonnées du vecteur −−→

AM en fonction de x et de y.

(b) On a −−→

AM = −2 − − →

AB + 3 −→

AC. En déduire les coordonnées du point M . (On ne demande pas de placer M dans le repère).

5. Soit E le point de coordonnées (7; − 1).

(a) Placer le point E dans le repère et tracer le quadrilatère ACBE.

(b) Le quadrilatère ACBE est-il un parallélogramme ? Justifier la réponse.

Exercice 3. (8 points) Les parties A et B suivantes peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A. On considère une fonction f définie sur l’intervalle [ − 4; 1], dont la courbe représentative C

est donnée en Annexe 1. On précise que la fonction f admet un minimum en x = − 1,375.

1. À l’aide du graphique, compléter le tableau de variations de la fonction f : x

Variations de f

. . . . . . . . .

2. Compléter les pointillés par le symbole qui convient (<, > ou =) puis justifier sur la copie :

(a) f (−1) . . . f(1) (b) f(−2) . . . f (−3)

3. À l’aide du graphique, et en faisant apparaître les traits de construction, donner le nombre de solutions vérifiant :

(a) l’équation f(x) = 10, (b) l’équation f(x) = − 15.

Partie B. On donne à présent l’expression de f pour tout réel x. On a f (x) = 4x

+ 11x − 3.

1. Démontrer que l’expression factorisée de f est donnée par f (x) = (4x − 1)(x + 3).

2. Résoudre les équations suivantes en choisissant la forme la mieux adaptée : (a) f(x) = 0.

(b) f(x) = −3.

3. Établir le tableau de signes de f (x) pour x ∈ R .

4. En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) ≤ 0.

Exercice 4. (8 points)

Jean-Baptiste, professeur de mathématiques, souhaite commander des chocolats pour tous ses collègues. Il hésite entre deux chocolateries prestigieuses : “La chococcinelle” et “ChocoWonka”. On donne ci-dessous les tarifs pratiqués par ces deux chocolateries :

q “La chococcinelle” : 10 euros de frais de livraison fixes puis 16 euros par kilogramme de chocolats achetés.

q “ChocoWonka” : aucun frais de livraison mais le prix au kilogramme est de 20 euros.

1. Jean-Baptiste prévoit d’acheter 5 kilogrammes de chocolats.

(a) Donner le prix qu’il devra payer pour chaque chocolaterie (détailler les calculs).

(b) En déduire la chocolaterie la plus avantageuse dans ce cas.

2. On considère les fonctions f et g définies sur [0; +∞[ telles que pour x kilogrammes de chocolats achetés, f(x) est le prix pour la chocolaterie “Chococcinelle” et g(x) est le prix pour “ChocoWonka”.

On a ainsi g(x) = 20x pour tout x ∈ [0; + ∞ [.

(a) Justifier que f est donnée par l’expression f(x) = 16x + 10 pour tout x ∈ [0; + ∞ [. Comment est appelée une telle fonction ?

(b) On considère les courbes C

de C

représentants les fonctions f et g respectivement.

Tracer ces deux courbes dans le repère donné en Annexe 2. Expliquer la démarche sur la copie.

(c) Par lecture graphique, déterminer l’ensemble des quantités de chocolats à acheter pour que la chocolaterie “ChocoWonka” soit la plus avantageuse.

3. Jean-Baptiste décide de créer un algorithme lui donnant directement la chocolaterie la plus avantageuse lorsqu’on donne en entrée la quantité de chocolat x. Compléter son algorithme (directement sur le sujet) :

Saisir x

A prend la valeur . . . . B prend la valeur 20x

Si . . . .

Alors Afficher « La chocolaterie “Chococcinelle” est la plus avantageuse »

Sinon Afficher . . . . Fin Si

4. (a) Résoudre, par le calcul, l’inéquation f (x) ≤ g(x) (où f (x) et g(x) ont été déterminées dans la question 2).

(b) En déduire les quantités de chocolats à commander pour que la chocolaterie “Chococcinelle” soit la

plus avantageuse.

Exercice 5. (7 points)

Dans un parc d’attractions, Pauline, Violaine, Thierry et Mickaël sont sur le point d’embarquer dans le wagon de tête d’un grand-huit. Ce wagon ne contient que deux sièges dont aucun ne doit être laissé vide. Par conséquent, deux personnes devront patienter un tour de manège supplémentaire avant d’embarquer. . .

Toutes les valeurs de probabilités suivantes devront être mises sous forme de fractions irréductibles et ne pas être arrondies.

1. Sur le sujet, compléter entièrement l’arbre suivant donnant toutes les répartitions possibles dans le wagon de tête (prendre les initiales de chaque prénom). Indiquer les issues au bout des branches finales de l’arbre. Par exemple, si Pauline s’installe sur le premier siège et Violaine sur le second siège, on notera l’issue (P ; V ).

Siège 1 Siège 2 Issue

Wagon

M T V P

Dans la suite de l’exercice, on suppose que les passagers s’installent au hasard dans le wagon et on définit les événements suivants :

q A : “Violaine est dans le wagon”.

q B : “Thierry s’installe sur le second siège”.

q C : “Mickaël s’installe sur le premier siège”.

2. Quelles sont toutes les issues qui réalisent l’événement A ? En déduire que P (A) = 1

2 (expliquer le calcul).

3. (a) Reprendre la question 2 avec l’événement C.

(b) Décrire l’événement C au moyen d’une phrase. À l’aide de la question 3.(a) calculer P (C).

4. (a) Décrire à l’aide d’une phrase l’événement A ∩ B puis justifier que P (A ∩ B) = 1 12 .

(b) On appelle D l’événement “Violaine est dans le wagon ou Thierry s’installe sur le second siège”.

Comment peut-on exprimer D en fonction des événements A et B ? (c) À l’aide des questions 4.(a) et 4.(b), calculer la valeur de P (D).

On pourra utiliser dans cette question la valeur P (B) = 1

4 sans avoir à la justifier.

Éric est trésorier d’un club de badminton qui compte 80 adhérents. On dénombre trois catégories de joueurs : les Juniors (17–18 ans), les Seniors (19–40 ans) et les Vétérans (41 ans et plus). Les adhérents du club jouent soit en Professionnel, soit en Amateur.

On sait que 47,5 % des adhérents du club sont des Seniors et qu’une personne sur huit joue en Professionnel.

1. Justifier que 38 adhérents du club sont des Seniors.

2. Compléter le tableau suivant pré-rempli par Éric (aucune justification n’est demandée ici) :

Juniors Seniors Vétérans Total

Professionnels 4

Amateurs 27

Total 12 80

Dans les questions suivantes, les calculs de probabilités devront être justifiés et arrondis à 10

près.

2. On interroge un adhérent du club au hasard.

(a) Quelle est la probabilité qu’il soit Vétéran ?

(b) Quelle est la probabilité qu’il soit Senior et joue en Professionnel ? (c) Quelle est la probabilité qu’il ait moins de 40 ans ?

(d) Quelle est la probabilité qu’il ne soit ni Vétéran ni Amateur ? 3. On interroge au hasard un adhérent jouant en Amateur.

(a) Quelle est la probabilité que ce soit un Junior ?

(b) Quelle est la probabilité qu’il ait au plus 40 ans ?

Annexe 1.

x

− 4 − 3 − 2 − 1 1

y

− 15

− 10

− 5 5 10 15

0

C

Annexe 2.

x

1 2 3 4 5 6 7

y

− 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

0