Devoir commun de Mathématiques TS

Devoir commun de Mathématiques TS

1. En utilisant la définition du nombre dérivé de la fonction qui à x associe e ^{2 x} , prouver que la limite de e ^{2 x} – 1

x ^lorsque x tend vers 0 est égale à 2.

2. On considère la fonction h définie sur ℝ par : h x = e ^2x – 1

x ^si x≠ 0 et h 0=2 . La fonction h est-elle continue sur ℝ ?

Résoudre dans ℝ : e ^{2 x} – e ^x =0 ; 5 e ^{2 x} – 4 e ^x – 1=0 ; e ^x 1

e ^{– x} 1 =1 _; e ^{– 3x} 1 ; e ^x

^–x e .

1. On considère la fonction f définie sur ℝ, par : f x =ax ² bx ce ^{– x} . On note C _{f sa} représentation graphique dans un repère orthogonal.

a. Déterminer c sachant que le point A 0 ;1 appartient à C _{f .}

b. Pour tout x ∈ ℝ , calculer f ' x  en fonction de a et de b . En déduire la valeur de b sachant que f ' 0=– 6 .

c. Au point d'abscisse 1 , la tangente à C _f est parallèle à l'axe des abscisses. En déduire la valeur de a et l'expression de f  x  pour tout x réel.

2. Si l'on considère que f  x = x ² −5 x1e ^−x , pour tout x réel, calculer les limites de f en – ∞ et en ∞ .

Soit la fonction f : x e ^x

e ^x 1 ^{et C f} sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Justifier que la fonction est définie sur ℝ.

2. Déterminer la limite de f en – ∞ .

3. Montrer que pour tout x réel : f  x = 1

1e ^{– x} . En déduire la limite de f en ∞ . 4. Montrer que f est strictement croissante sur ℝ.

5. Déterminer une équation de T ₀ la tangente à C _f au point d'abscisse 0.

6. Pour x réel, on pose : g  x= x 4  1

2 – f  x 

a. Prouver que l'expression e ^{2 x} – 2 e ^x  1 est égale à e ^x – 1 ² pour tout x réel.

b. Calculer g ' x  et g 0 .

c. En déduire la position relative de T _{0 et de} C _{f .} 7. Tracer T _{0 et} C _f . (libre choix des unités)

On considère l'équation différentielle : 2 y ' 3 y=4 (E) 1. Résoudre l'équation différentielle E  .

2. Déterminer la solution h qui vaut 1 pour x=0 .

3. Prouver que l'équation h x =0 admet une solution unique  . Donner un encadrement de

 d'amplitude 10 ^{– 1} . (ne pas se servir du logarithme népérien)

2010©My Maths Space Page 1/1 4

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