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ièmeDevoir Commun de Mathématiques – 2
ndeNOM : PRENOM:
Classe:
Vendredi 12 Mai 2017
Le sujet est à rendre avec la copie.
Le soin, la rigueur entreront pour une part non négligeable dans l’évaluation. Les 6 exercices sont indépendants. Vous pouvez répondre directement sur ce polycopié lorsque la place est prévue (dans les tableaux, sur les pointillés, dans les repères prévus).
La calculatrice est personnelle. Vous ne pouvez donc pas la prêter.
Exercice 1 sur 5 points
Un devoir commun de mathématiques est organisé pour les classes de seconde.
Les professeurs des classes concernées ont décidé d’élaborer le sujet en se servant d’exercices qu’ils ont déjà donnés les années précédentes. Ils disposent ainsi de 400 exercices répartis en trois catégories : fonctions, géométrie et probabilité. On sait que :
• 35% de ces exercices ont déjà été utilisés lors des devoirs communs des années antérieures ;
• Il y a 156 exercices sur les fonctions dont un quart ont déjà figurés dans un devoir commun les années précédentes ;
• 112 sont des exercices de probabilités et 92 d’entre eux n’ont jamais été donnés lors d’un devoir commun.
1. Vérifier que 140 exercices ont déjà été utilisés lors des devoirs communs des années antérieures.
2. Compléter le tableau suivant.
Les probabilités seront données sous forme décimale arrondie à 0,000 1 près lorsque cela est nécessaire.
3. Les professeurs décident de tirer au hasard le troisième exercice du devoir commun.
On considère les événements suivants :
𝐹 : « l’exercice porte sur les fonctions » et 𝐷 : « l’exercice a déjà été donné lors d’un devoir commun ».
a. Calculer la probabilité des événements 𝐷 et 𝐹.
b. Quelle est la probabilité pour que l’exercice tiré au sort soit un exercice sur les fonctions déjà donné précédemment ?
c. Décrire par une phrase l’événement 𝐷 ∪ 𝐹, puis calculer sa probabilité.
d. On sait que l’exercice choisi au hasard a déjà été donné dans un devoir commun précédent.
Quelle est la probabilité que ce soit un exercice sur la géométrie ?
Exercice 1 : Exercice 2 : Exercice 3 : Exercice 4 : Exercice 5 : Exercice 6 : TOTAL :
Fonctions Géométrie Probabilités Total
Déjà donné lors d’un devoir commun
Jamais donné lors d’un devoir commun 92
Total 156 400
Exercice 2 sur points
Pour leur mariage, Romain et Julie font appel à un traiteur pour s’occuper du repas.
Le traiteur propose le menu suivant :
Entrée :
« Jambon de pays » ou « Saumon fumé » ET
Plat : « Gigot d’agneau » ou « Daurade grillée » ET
Dessert :
« Profiteroles » ou « Fraisier » ou Vacherin »
1. Lister, à l’aide d’un arbre, la liste complète des choix possibles de menu.
2. Combien de menus différents peut-on composer ? 3. On choisit un menu au hasard.
a. Sommes- nous dans une situation d’équiprobabilité ?(Justifier) b.Calculer les probabilités des événements suivants :
i) Le dessert du menu est un vacherin.
ii) Le menu est composé de saumon fumé et de gigot d’agneau.
iii) Il y a au moins un plat de poisson dans le menu.
c. Romain et Julie souhaitent avoir viande et poisson dans le menu.
Quelle est la probabilité que le menu choisi respecte ce choix.
Exercice 3 sur 4 points
1. Compléter l’algorithme suivant :
Variables : XA, YA, XB, YB, XC, YC, XD, YD sont des réels Entrées : Saisir XA, YA, XB, YB, XC, YC, XD, YD.
Traitement : X prend la valeur XB -XA
Y prend la valeur YB -YA
X’ prend la valeur XD –XC
Y’ prend la valeur YD –YC
Si ………
Alors Afficher : « 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 »
Sinon : ………
Finsi
2. Dans le plan muni d’un repère (à faire sur la copie), placer les points 𝐴(−2 ; 1) ; 𝐵(3 ; 3) ; 𝐶(−5 ; −3) et 𝐷(5 ; 1).
3. Démontrer que les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.
4. Que peut-on en déduire sur les droites (𝐴𝐵) et (𝐶𝐷) ? 5. En déduire la nature du quadrilatère 𝐴𝐵𝐷𝐶.
6. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point 𝑇 appartenant à l’axe des abscisses tel que les points 𝐵, 𝐶 et 𝑇 sont alignés.
7. Justifier que 𝑇 est le milieu de [𝐵𝐶].
Exercice 4 sur 4 points
1. Dans le repère
O I J, ,
ci-dessous, placer les points 𝐴(3; 2), 𝐵(−1; 3) et 𝐶(1 ; − 2).2. Placer les points D et E tels que 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . 3. Par le calcul :
a. Déterminer les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . b. En déduire les coordonnées du point D.
c. De la même façon, montrer que les coordonnées de E sont (−5; −5).
4. On veut placer le point K tel que 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ .
a. En remarquant que 𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ , montrer que 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ =3
4 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
b. Placer le point K puis lire ses coordonnées. On retrouvera, par le calcul, les valeurs exactes.
Exercice 5 sur 8 points
John veut faire bâtir un bâtiment derrière chez lui. Pour cela il contacte 3 entreprises de construction afin d’avoir les tarifs.
L’entreprise A propose de faire les travaux pour 1500 euros peu importe le nombre d’heures nécessaires.
L’entreprise B propose un tarif de 75 euros par heure.
L’entreprise C propose de payer 500 euros pour les 10 premières heures, puis au-delà de ces 10 premières heures, l’heure coutera 100 euros.
On note 𝑡 le temps en heure nécessaire pour réaliser les travaux.
On note 𝑓, 𝑔 et ℎ les fonctions représentant le prix de construction en fonction du temps 𝑡 en heures pour les entreprises A, B et C.
1. Déterminer, pour chaque entreprise, le prix que devra payer John pour un travail de 8 heures.
2. Donner les expressions des fonctions 𝑓 et 𝑔 en fonction de 𝑡.
3. Justifier que l’expression de la fonction ℎ en fonction de 𝑡 est la suivante :
• Si 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 alors ℎ(𝑡) = 500 ;
• Si 𝑡 ≥ 10 alors ℎ(𝑡) = 500 + 100(𝑡 − 10).
4. Tracer dans le repère ci-dessous les courbes représentatives 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔 et 𝐶ℎ des fonctions 𝑓, 𝑔 et ℎ sur l’intervalle [0 ; 22].
5. Déterminer, par le calcul, l’entreprise la plus avantageuse pour John dans les cas suivants : a. la construction durera 16h ;
b. la construction durera 6h.
6. A l’aide du graphique, donner l’intervalle de temps pour lequel l’entreprise C est la plus avantageuse.
7. Existe-t-il une durée de travail pour laquelle les entreprises proposent le même tarif ? Justifier graphiquement la réponse.
Exercice 6 sur 9 points
M. MOBUR est le PDG d’une entreprise fabriquant du mobilier urbain. Il s’intéresse au bénéfice réalisé par sa société.
On note 𝑥 le nombre de lots de mobilier fabriqués et vendus par jour.
On admet que le bénéfice réalisé pour 𝑥 lots produits et vendus est donné par : 𝐵(𝑥) = −2𝑥2+ 100𝑥 − 1200.
Partie A : Etude graphique du bénéfice.
Le fils de M. MOBUR, élève de seconde, a utilisé sa calculatrice pour obtenir une représentation graphique et des tableaux de valeurs de la fonction 𝐵.
Voici les captures d’écran obtenues :
1. Quel est le bénéfice réalisé pour 10 lots fabriqués et vendus ?
2. M. MOBUR annonce un bénéfice de 48 euros. Peut-on savoir combien de lots ont été vendus ? 3. Dresser le tableau de variation complet de la fonction 𝐵 sur l’intervalle [0; 50].
4. Quel est le bénéfice maximal que peut espérer M. MOBUR ? Pour combien de lots fabriqués et vendus ?
Partie B : Etude de la rentabilité de l’entreprise.
1. L’entreprise est-elle rentable pour 17 lots fabriqués et vendus ? et pour 22 lots fabriqués et vendus ? Justifier les réponses par le calcul.
2. Montrer que le bénéfice peut s’écrire sous la forme : 𝐵(𝑥) = (𝑥 − 20)(60 − 2𝑥).
3. Dresser le tableau de signe de 𝐵(𝑥).
En déduire le nombre de lots que doit fabriquer et vendre l’entreprise pour être rentable.
