Devoir commun n˚2

TS Devoir commun n˚2 _2010-2011

Exercice 1

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

0 point 5 points

0 point

3 points

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

1. Le joueur lance une fléchette.

On note p 0 la probabilité d’obtenir 0 point.

On note p 3 la probabilité d’obtenir 3 points.

On note p 5 la probabilité d’obtenir 5 points.

On a donc p 0 + p 3 + p 5 = 1. Sachant que p 5 = 1

2 p 3 et que p 5 = 1

3 p 0 déterminer les valeurs de p 0 , p 3 et p 5 · 2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total

(pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On note G 2 l’évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».

On note G ³ l’évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».

On note P l’évènement : « le joueur perd la partie ».

On note p(A) la probabilité d’un évènement A.

(a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que p (G 2 ) = 5 36 . On admettra dans la suite que p (G ³ ) = 7

36 (b) En déduire p(P ).

3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.

Quelle est la probabilité qu’il gagne au moins une partie ? 4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 euros.

Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 euros S’il gagne en trois lancers, il reçoit 3 euros. S’il perd, il ne reçoit rien.

On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : − 2, 1 et 3.

(a) Donner la loi de probabilité de X .

(b) Déterminer l’espérance mathématique de X . Le jeu est-il favorable au joueur ?

Exercice 2

1. On appelle f la fonction définie sur [0 ; + ∞ [ par f (x) = 1 4 xe ⁻

. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; − →

i ; − → j ) La courbe C est représentée au verso de cette feuille.

(a) Montrer que f est positive sur [0 ; + ∞ [.

(b) Déterminer la limite de f en + ∞ . En déduire une conséquence graphique pour C . (c) Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 ; + ∞ [.

Lycée Bertran de Born 1 sur 2

TS Devoir commun n˚2 _2010-2011

1 2 3 4 5 6 7 8

0 1

C

2. On considère la fonction F définie sur [0 ; + ∞ [ par F (x) = Z x 0

f (t) dt.

(a) Montrer que F est une fonction strictement croissante sur [0 ; + ∞ [.

(b) Montrer que F (x) = 1 − e ⁻

− x 2 e ⁻

.

(c) Calculer la limite de F en + ∞ et dresser le tableau de variations de F sur [0 ; + ∞ [.

(d) Justifier l’existence d’un unique réel positif α tel que F (α) = 0, 5.

À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de α à 10 ^{− 2} près par excès.

Exercice 3

Les courbes C _f et C _g données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O; − → i ; − →

j ), les fonctions f et g définies sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par :

f (x) = ln x et g(x) = (ln x) ² .

1 e

1

~i

~j

C _f C _g

On cherche à déterminer l’aire A (en unités d’aire) de la partie du plan hachurée.

On note I = Z ^e

1

ln x dx et J = Z ^e

1

(ln x) ² dx.

1. Vérifier que la fonction F définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par F (x) = x ln x − x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I.

2. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que J = e − 2I.

3. En déduire J .

4. Donner la valeur de A .

Lycée Bertran de Born 2 sur 2