Enoncé G156 (Diophante) Un bonneteau diabolique
Méphisto invite Zig à jouer une variante du bonneteau avec trois pièces de monnaie. La première en bronze a le chiffre 5 sur le côté « pile » et le chiffre 1 sur le côté « face ». La deuxième en argent a le même chiffre 3 sur les deux côtés. La troisième en or a le chiffre 2 sur le côté « pile » et le chiffre 6 sur le côté « face ». Méphisto invite Zig à choisir une pièce puis choisit lui-même l’une des deux pièces restantes. Chacun à tour de rôle lance la pièce qu’il a choisie et le joueur dont le chiffre affiché est le plus élevé reçoit 10 euros du perdant. Dans toute partie chacun des deux joueurs effectue 1000 lancers indépendants les uns des autres.
Dans une première partie, Zig qui ignore que les pièces ont été préalable- ment pipées, choisit naturellement la pièce en or dont la somme des deux chiffres est la plus élevée tandis que Méphisto choisit la pièce en argent. A l’issue de la partie, Zig perd une somme de l’ordre de 1000 euros.
Méphisto laisse à Zig la possibilité de jouer une seconde partie. Zig choisit alors la pièce en argent qui vient de porter chance à Méphisto. Celui-ci retient alors la pièce en bronze. Cette deuxième partie se termine par une nouvelle perte de Zig qui est le double de la précédente.
Méphisto, grand seigneur, laisse une dernière chance à Zig qui prend logi- quement la pièce en bronze et s’attend à un gain significatif compensant les deux pertes antérieures. Quel est le résultat final de cette troisième partie ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soient p1 et p5 les probabilités respectives des chiffres 1 et 5 quand on lance la pièce en bronze (p1+p5= 1). De mêmep2 etp6 pour la pièce en or.
Première partie : l’espérance de Zig (or contre argent) est 10(p6−p2) par lancer, soit 10000(p6−p2) pour la partie ; le résultat étant une perte de 1000, on ap6−p2 =−0,1, puis p6 = 0,45,p2 = 0,55.
Deuxième partie : l’espérance de Zig (argent contre bronze) est 10(p1−p5) par lancer, soit 10000(p1−p5) pour la partie ; le résultat étant une perte de 2000, on a p1−p5 =−0,2, puis p1 = 0,4,p5 = 0,6.
Troisième partie : Zig prenant le bronze, Méphisto prend l’or (l’argent le ferait perdre à l’inverse de la deuxième partie), et ne perd que pour les lancers donnant 2 et 5, de probabilité p2p5. L’espérance de Zig est 10(p2p5−(1−p2p5)) =−3,4 par lancer ; il va perdre 3400 euros.
