G156 – Un bonneteau diabolique
Méphisto invite Zig à jouer une variante du bonneteau avec trois pièces de monnaie. La première en bronze a le chiffre 5 sur le côté « pile » et le chiffre 1 sur le côté « face ». La deuxième en argent a le même chiffre 3 sur les deux côtés. La troisième en or a le chiffre 2 sur le côté « pile» et le chiffre 6 sur le côté « face ».
Méphisto invite Zig à choisir une pièce puis choisit lui-même l’une des deux pièces restantes.
Chacun à tour de rôle lance la pièce qu’il a choisie et le joueur dont le chiffre affiché est le plus élevé reçoit 10 € du perdant. Dans toute partie chacun des deux joueurs effectue 1000 lancers indépendants les uns des autres.
Dans une première partie, Zig qui ignore que les pièces ont été préalablement pipées, choisit naturellement la pièce en or dont la somme des deux chiffres est la plus élevée tandis que Méphisto choisit la pièce en argent. À l’issue de la partie, Zig perd une somme de l’ordre de 1000 €.
Méphisto laisse à Zig la possibilité de jouer une seconde partie. Zig choisit alors la pièce en argent qui vient de porter chance à Méphisto. Celui-ci retient alors la pièce en bronze. Cette deuxième partie se termine par une nouvelle perte de Zig qui est le double de la précédente.
Méphisto, grand seigneur, laisse une dernière chance à Zig qui prend logiquement la pièce en bronze et s’attend à un gain significatif compensant les deux pertes antérieures. Quel est le résultat final de cette troisième partie?
Solution proposée par Patrick Gordon
Première partie
Zig gagne s'il amène le 6. Soit p la probabilité correspondante.
Son espérance de gain en 1 coup est : 10p – 10 (1-p) = 20p – 10.
Son espérance de gain en 1.000 coups est : 1000 (20p – 10).
Or on constate qu'il a gagné – 1000. Prenant la fréquence comme estimateur de la probabilité, on déduit que :
20p – 10 = – 1
soit p = 9/20.
Deuxième partie
Zig gagne si Méphisto amène le 1. Soit p' la probabilité d'amener le 5 avec la pièce de bronze et donc (1 – p') la probabilité que Zig gagne.
Son espérance de gain en 1 coup est : 10 (1 – p') – 10p' = 10 – 20p'.
Son espérance de gain en 1.000 coups est : 1000 (10 – 20p').
Or on constate qu'il a gagné – 2000. Prenant la fréquence comme estimateur de la probabilité, on déduit que :
10 – 20p' = – 2
soit p' = 12/20 = 3/5
Troisième partie
Il y a deux cas, selon que Méphisto joue la pièce d'or ou celle d'argent.
a) Méphisto joue la pièce d'or
Zig gagne s'il amène le 5 et Méphisto le 2. La probabilité correspondante est 3/5 × 11/20 = 33/100.
Son espérance de gain en 1 coup est :
10 × 33/100 – 10 × 67/100 = – 3,4.
b) Méphisto joue la pièce d'argent
Zig gagne s'il amène le 5. La probabilité est 3/5.
Son espérance de gain en 1 coup est : 10 × 3/5 – 10 × 2/5 = 2.
Méphisto (pas fou!) choisit donc l'option a (pièce d'or) où Zig perd.
En 1.000 coups, Zig perd de l'ordre de 3.400€.
Moralité : avec le diable, c'est "pile je gagne, face tu perds". Diabolique, en effet!
