Enoncé A729 (Diophante) Où qu’est la bonne, Pauline ?
On vous présente 100 pièces de monnaie d’apparence identique mais 4 d’entre elles de même poids sont plus lourdes. Vous dispo- sez d’une balance Roberval à deux plateaux. Quel est le nombre minimal de pesées qui permet d’identifier de manière certaine au moins une pièce bonne ? 1 ?, 2 ?, 3 ?, 4 ?, ≥5 ?
Justifiez votre réponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Trois pesées peuvent être nécessaires et identifient au moins 20 pièces bonnes. Je commence par comparer deux lots de 40 pièces.
Premier cas : pesée non équilibrée. Le lot le plus léger contient 0 ou 1 pièce lourde. Divisant ce lot en deux lots de 20 pièces, la seconde pesée indique 20 bonnes pièces en cas d’inégalité, et 40 bonnes pièces en cas d’égalité.
Second cas : pesée équilibrée. Chaque lot de 40 contient 0, 1 ou 2 pièces lourdes. Je divise un des lots en 2 lots de 20 pièces, que je compare entre eux.
– En cas d’inégalité, les 20 pièces du lot le plus léger sont bonnes, que le lot le plus lourd contienne 1 ou 2 pièces lourdes.
–En cas d’égalité, chaque lot de 20 peut contenir 0 ou 1 pièce lourde ; j’ai besoin d’une troisième pesée, comparant un de ces lots aux 20 pièces non encore pesées (soit celles-ci sont toutes bonnes, soit elles comprennent toutes les pièces lourdes). Les 20 pièces du lot le plus léger de cette 3e pesée sont bonnes.
