Enoncé G159 (Diophante) Les deux pièces de monnaie
J’ai deux vieilles pièces de monnaie l’une, la plus petite, en or et l’autre en argent, que l’on peut assimiler à deux cylindres droits parfaits. Leurs tranches ont même dimension arrondie au centième de millimètre le plus proche et sont assez épaisses pour que les pièces lancées(*) en l’air re- tombent sur la tranche avec les probabilités p1 >0 pour la pièce en or et p2 > 0 pour la pièce en argent. Quand je lance chacune des deux pièces, les probabilités d’obtenir pile et face sont identiques.
Je lance la pièce en or plusieurs fois de suite jusqu’à obtenir au moins une fois les trois configurations pile, face et tranche. J’observe qu’après de très nombreuses expériences, j’y parviens en moyenne à l’issue de huit lancers.
J’opère de la même manière avec la pièce en argent et je constate qu’il faut aussi huit lancers en moyenne pour obtenir les trois configurations.
La pièce en argent a un diamètre de 49 mm. Quel sont, arrondis au mm le plus proche, le diamètre et l’épaisseur de la tranche de la pièce en or ?
(*) Nota : les lancers peuvent être réalisés avec un tapis de sol récouvert d’un adhésif. Si la pièce tombe sur la tranche comme le montre le premier schéma ci-dessus, le tapis maintient la pièce sur sa tranche. A l’inverse, si elle tombe côté pile (ou face), ce sera le côté face (ou pile) qui apparaîtra.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Examinons d’abord comment la forme de la pièce détermine les proba- bilités. Si la pièce est un cylindre de diamètredet d’épaisseure, la sphère passant par les deux cercles de base (sphère circonscrite) a un diamètre
√
d2+e2, distance entre deux points du bord des bases, symétriques par rapport au centre de la pièce, dont j’admets que c’est son centre de gravité.
Le schéma de l’énoncé montre le résultat du lancer est déterminé par le côté (surface latérale, ou l’une ou l’autre base) rencontré par la verticale descendante du centre de gravité. Les orientations de la pièce lors de son lancer sont équiprobables, donc aussi l’orientation de la verticale par rap- port à la pièce ; les traces de la verticale sur la sphère circonscrite s’y répartissent uniformément.
La probabilité de tomber sur la tranche est la proportion de l’aire de la sphère comprise entre les deux bases ; il est bien connu que c’est la proportion de la projection de cette zone sur le diamètre axe des deux bases, soitp=e/√
d2+e2. Aedonné,petdvarient en sens contraire, car e=dp/p1−p2.
Les pièces de l’énoncé ont même épaisseur eet des diamètres d1 etd2. Si d1 < d2,d1 est le diamètre de la pièce d’or,d2 = 49 mm, et p1> p2. 2) Une séquence faisant apparaître, après exactementn lancers, les trois éventualités : tranche (probabilité p), pile et face (probabilité chacune q = (1−p)/2) peut prendre trois formes, selon le résultat qui apparaît pour la première fois au lancern.
Si c’est tranche, ce lancer de probabilité p s’ajoute à n−1 lancers qui donnent pile ou face (probabilité (2q)n−1), à condition qu’il n’y ait pas que des pile ou que des face (probabilité qn−1 chaque), ce qui donne pqn−1(2n−1−2) au total.
Si c’est pile, ce lancer de probabilitéqs’ajoute àn−1 lancers qui donnent tranchee ou face (probabilité (p +q)n−1), à condition qu’il n’y ait pas que des tranche ou que des face (probabilité pn−1 +qn−1), ce qui donne q((p+q)n−1−pn−1−qn−1 au total.
Si c’est face, on a la même contribution que si c’est pile.
La probabilité que les trois résultats soient obtenus ennlancers exactement est
P(n) =p(2q)n−1+ 2q(p+q)n−1−2qpn−1−(2p+ 2q)qn−1. L’espérance de n estE =
∞
X
n=3
nP(n).
On sait que
∞
X
n=1
nxn−1= 1/(1−x)2. CommeP(2) = 0, P(1) =−1, on a E−1 =p/(1−2q)2+ 2q/(1−p−q)2−2q/(1−p)2−(2p+ 2q)/(1−q)2. Mais comme p + 2q = 1, E −1 = 1/p+ 2/q −1/(2q) −2/(1−q) = 1/p+ 3/(1−p)−4/(1 +p).
La donnée E = 8 conduit à 1/p+ 3/(1−p)−4/(1 +p) = 7 qui, mis sous forme entière, donne l’équation
(7p−1)(p2+p−1) = 0.
L’équation a deux solutions dans l’intervalle (0,1), soit p1 = (√
5−1)/2, inverse du nombre d’or ϕ, et p2= 1/7.
La relation e=d1p1/q1−p21 =d2p2/q1−p22 donne, avec d2 = 49 mm, e=d1/√
ϕ= 49/√
48 = 7,07254. . ., puis d1= 49pϕ/48 = 8,99641. . . Le problème admet donc les réponses 9 et 7 millimètres, respectivement pour le diamètre et pour l’épaisseur de la pièce d’or.
